Analysis

4. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN 907
Proposition 4.10.17 (Topologisch zyklische kompakte Liegruppen).
Eine kompakte Liegruppe ist topologisch zyklisch genau dann, wenn sie abelsch
ist mit zyklischer Komponentengruppe.
4.10.18. Diese Proposition wird in 6.4.15 noch gebraucht, wo wir zeigen,
daß der Zentralisator eines Torus in einer zusammenhängenden kompakten
Liegruppe stets zusammenhängend ist. Stärkere Aussagen, die im folgenden
nicht mehr gebraucht werden, faßt dann der anschließende Satz 4.10.19 zusammen.
Beweis. Jede topologisch zyklische Gruppe ist abelsch nach 3.7.12 und jeder
Quotient einer topologisch zyklischen Gruppe ist offensichtlich auch topologisch
zyklisch. Es bleibt zu zeigen, daß jede kompakte abelsche Liegruppe mit
zyklischer Komponentengruppe topologisch zyklisch ist. Sei dazu G unsere
Gruppe und g ∈ G ein Repräsentant eines Erzeugers der Komponentengruppe
G/G ◦ . Diese Komponentengruppe ist endlich, sagen wir von der Ordnung
|G/G ◦ | = m. Es folgt g m ∈ G ◦ , und da G ◦ ein Torus ist, finden wir a ∈ T
mit a m = g m . Indem wir g durch a −1 g ersetzen, dürfen wir also g m = 1
annehmen, und dann erhalten wir einen Isomorphismus G ◦ × (G/G ◦ ) ∼ → G
vermittels der Abbildungsvorschrift (b, ¯g n ) ↦→ bg n . Ein topologischer Erzeuger
dieses Produkts ist aber offensichtlich jedes Paar (c, ¯g), bei dem wir c so
wählen, daß c m ein topologischer Erzeuger von G ◦ wird. Das schließlich ist
nach 4.10.12 stets möglich.
Satz 4.10.19 (Klassifikation topologisch zyklischer Liegruppen). Jede
topologisch zyklische Liegruppe ist entweder isomorph zu Z oder aber isomorph
zu S 1 × . . . × S 1 × Z/mZ für eine wohlbestimmte Zahl r ≥ 0 von
Kopien von S 1 und ein wohlbestimmtes m ≥ 1.
Beweis. Der kompakte Fall wurde bereits im Beweis der Proposition 4.10.17
vollständig geklärt. Es bleibt zu zeigen, daß jede nichtkompakte topologisch
zyklische Liegruppe isomorph ist zu Z. Nach Übung 4.10.20 ist unsere Gruppe
ja isomorph zum Produkt ihrer Komponentengruppe mit ihrer Einszusammenhangskomponente.
Die Einzusammenhangskomponente muß ein kompakter
Torus sein, da unsere Gruppe sonst einen surjektiven Gruppenhomomorphismus
auf die nicht topologisch zyklische Gruppe R hätte. Desgleichen
muß die Komponentengruppe zyklisch sein, und im nichtkompakten Fall muß
die Komponentengruppe dann natürlich unendlich zyklisch sein. Es ist jedoch
leicht zu sehen, daß das Produkt eines nichttrivialen kompakten Torus mit
Z nicht topologisch zyklisch sein kann.