Analysis

1074 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Übung 11.2.9. Die stetigen Abbildungen von einem topologischen Raum in eine
topologische Gruppe bilden unter der punktweisen Verknüpfung und mit
der kompakt-offenen Topologie selbst eine topologische Gruppe. Die stetigen
Abbildungen von einem topologischen Raum in einen topologischen Vektorraum
bilden unter der punktweisen Verknüpfung und mit der kompaktoffenen
Topologie selbst einen topologischen Vektorraum. Hinweis: 11.2.6.
Definition 11.2.10. Sei (E) eine Eigenschaft topologischer Räume. Sagen
wir, ein topologischer Raum X sei lokal (E), so meinen wir, daß sich jede Umgebung
eines beliebigen Punkts von X verkleinern läßt zu einer Umgebung
desselben Punktes, die als topologischer Raum mit der induzierten Topologie
die Eigenschaft (E) hat.
Ergänzung 11.2.11. In der Terminologie von Bourbaki wird von einem lokal
kompakten Raum zusätzlich die Hausdorff-Eigenschaft gefordert. Ich schließe
mich dieser Terminologie nicht an, da sie im Widerspruch steht zu der
eben vereinbarten allgemeinen Bedeutung des Adjektivs “lokal”. Im Deutschen
bringt man diesen Unterschied zumindest in der alten Rechtschreibung
dadurch zum Ausdruck, daß man “lokalkompakt” zusammenschreibt, wenn
die Hausdorff-Bedingung mit gemeint ist.
11.2.12. Ein kompakter Hausdorff-Raum ist nach 3.3.15 stets lokal kompakt.
Stärker zeigen wir: Besitzt in einem Hausdorffraum jeder Punkt eine kompakte
Umgebung, so ist unser Raum bereits lokal kompakt im Sinne von 11.2.10.
In der Tat, seien X ⊃ K ⊃ U ∋ p unser Raum, ein Kompaktum K, eine in
X offene Menge U und ein Punkt. Es gilt, eine offene Umgebung B von p
zu finden mit ¯ B ⊂ U. Aber nach 3.3.14 finden wir ja A, B ⊂◦ K disjunkt mit
K\U ⊂ A und p ∈ B. Aus B ⊂◦ K und B ⊂ U folgt erst B ⊂◦ U und dann
B ⊂◦ X. Der Abschluß ¯ B von B ist derselbe in K und in X und trifft A nicht,
woraus folgt ¯ B ⊂ U wie gewünscht.
Satz 11.2.13 (Adjungierter zu Produkt mit lokal kompaktem Raum).
Seien X, Y, Z topologische Räume. Ist Y lokal kompakt, so induziert die offensichtliche
Bijektion Ens(X × Y, Z) → Ens(X, Ens(Y, Z)) eine Bijektion
Top(X × Y, Z) ∼ → Top(X, C(Y, Z))
Beweis. Sei f : X × Y → Z stetig und ˜ f : X → C(Y, Z) die induzierte
Abbildung. Wir zeigen zunächst noch ohne irgendwelche Bedingungen an Y ,
daß ˜ f auch stetig ist. Es reicht, diese Stetigkeit an jeder Stelle x ∈ X zu
zeigen. Gegeben K ⊂ Y kompakt und U ⊂◦ Z offen mit ˜ f(x) ∈ O(K, U)
gilt es, eine offene Umgebung V von x zu finden mit ˜ f(V ) ⊂ O(K, U). Nun
besagt unsere Bedingung gerade f(x × K) ⊂ U, und wir finden natürlich