Analysis

1. HOLOMORPHE FUNKTIONEN 1331
Lemma 1.2.10. Die komplexe Exponentialfunktion ist holomorph und stimmt
auf der ganzen komplexen Zahlenebene mit ihrer eigenen Ableitung überein.
Beweis. Der Beweis des reellen Analogons II.4.2.8 kann wortwörtlich übernommen
werden.
Beispiel 1.2.11. Ist U ⊂◦ C eine offene Teilmenge derart, daß die Exponentialfunktion
eine Injektion mit offenem Bild und stetiger Umkehrfunktion
log : exp(U) → C liefert, so nennt man log einen Zweig des Logarithmus.
Nach 1.2.5 ist jeder solche Zweig des Logarithmus holomorph mit Ableitung
log ′ (q) =
1
exp(log q)
= 1
q
Im Spezialfall U = R + (−π, π) i spricht man auch vom Hauptzweig des
Logarithmus, den wir bereits in III.1.4.2 eingeführt und sogar noch auf
die negative reelle Achse fortgesetzt hatten, allerdings in nur noch partiell
stetiger Weise.
Übung 1.2.12. Man zeige, daß für alle z ∈ C mit |z| < 1 der Hauptzweig des
Logarithmus von 1 + z auch dargestellt werden kann durch die Potenzreihe
log(1 + z) = z − z2
2
+ z3
3
− . . .
Hinweis: Es reicht zu zeigen, daß für alle w ∈ C mit |w| = 1 das Einsetzen von
z = wt auf beiden Seiten dieselbe Funktion in t ∈ (−1, 1) liefert. Beide Seiten
nehmen aber bei z = 0 den Wert Null an, so daß es reicht, die Gleichheit ihrer
Ableitungen zu zeigen. In 1.7.10 dürfen Sie diese Übung mit mehr Theorie
und weniger Rechnen ein weiteres Mal lösen.
Satz 1.2.13. Sei U ⊂◦ R 2 offen und sei Uκ ⊂◦ C sein Bild unter der üblichen
Identifikation κ : R 2 ∼ → C, (x, y) ↦→ x + iy. Gegeben stetig partiell differenzierbare
reelle Funktionen u, v : U → R ist die Funktion f : Uκ → C gegeben
durch
f(x + iy) := u(x, y) + iv(x, y)
genau dann holomorph, wenn u und v die sogenannten Cauchy-Riemann’schen
Differentialgleichungen erfüllen, die da lauten
∂u
∂x
= ∂v
∂y
und
∂v
∂x
= −∂u
∂y