Analysis

15. WEITERES ZU LIEGRUPPEN 1145
Definition 15.4.6. Die Liealgebra Lie G der Lie-Gruppe G ist der Vektorraum
Te G mit der Lie-Klammer
1
[A, B] = lim
t→0 t2 (ϕA(t)ϕB(t) − ϕB(t)ϕA(t)) ,
wobei die Differenz natürlich nur in einer Karte um das neutrale Element gebildet
werden kann als ein Element des den Definitionsbereich der Karte umfassenden
Vektorraums, der Grenzwert unter der kanonischen Identifikation
dieses Vektorraums mit dem Tangentialraum am neutralen Element jedoch
unabhängig ist von der Karte.
Übung 15.4.7. Man zeige, daß die Exponentialabbildung im Fall der Gruppe
aller oberen Dreiecksmatrizen mit Einsen auf der Diagonale ein Diffeomorphismus
ist. Hinweis: Die Logarithmusreihe liefert eine inverse Abbildung.
Bemerkung 15.4.8. Man prüft leicht, daß g = End V mit der Lie-Klammer
[X, Y ] = XY − Y X zu einer reellen Liealgebra wird. Unter der Liealgebra
Lie G
unserer abgeschlossenen Untergruppe G ⊂ V Aut V verstehen wir den Vektorraum
Te G mit der induzierten Lie-Klammer. Um die Bedeutung des Konzepts
einer Liealgebra zu erklären, gebe ich ohne Beweis und sogar ohne
vollständige Definitionen zwei grundlegende Sätze an. Wir notieren die Kategorie
der Liegruppen mit Lgrp und die Kategorie der Liealgebren über
einem Körper k mit Lalg k.