Analysis

406 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
SkriptenBilder/BildKK.png
Die Kugelkoordinatenabbildung hat die folgende anschauliche Bedeutung:
Stellen wir uns ein Teleskop vor, das im Ursprung eines kartesischen
Koordinatensystems auf einem waagerechten, d.h. in der xy-Ebene
liegenden Drehteller steht und senkrecht nach oben zeigt. Um einen Stern
zu betrachten, schwenken wir zunächst das Teleskop nach unten in
Richtung der positiven x-Achse um einen Winkel ϑ ∈ [0, π] und drehen
dann den Drehteller um einen geeigneten Winkel, sagen wir um den Winkel
ϕ ∈ [0, 2π) gegen den Uhrzeigersinn. Ist schließlich r die Entfernung unseres
Sterns, so gibt K(r, ϑ, ϕ) seine kartesischen Koordinaten an. Natürlich ist
im Fall eines senkrecht über oder unter dem Teleskop befindlichen Sterns ϕ
nicht eindeutig, und befindet sich das Teleskop bereits im Stern, so sind
beide Winkel nicht eindeutig. Die Einschränkung unserer Abbildung auf
r > 0, ϑ ∈ (0, π) und ϕ ∈ [0, 2π) hinwiederum ist zwar injektiv, aber nicht
surjektiv. Oft findet man auch eine Variante, bei der wir uns das Teleskop
zu Beginn horizontal in Richtung der positiven x-Achse ausgerichtet denken
und wo die zweite Koordinate θ ∈ [−π/2, π/2] den Winkel bezeichnet, um
den das Teleskop nach oben bzw. bei negativem Winkel nach unten
geschwenkt werden muß. Die Formeln lauten dann abweichend
(r, θ, ϕ) ↦→ (r cos ϕ cos θ, r sin ϕ cos θ, r sin θ).