Analysis

1. KOMPLEXE EXPONENTIALFUNKTION 305
1.1.4. Für eine reelle Zahl a > 0 und z ∈ C definieren wir wieder
a z := exp(z log a)
und schreiben insbesondere auch exp z = e z für z ∈ C. Aus der Beschreibung
von sin, cos und exp durch Potenzreihen II.7.6.2 oder in der Konstruktion von
C als Ring pezieller Matrizen auch aus II.7.6.3 folgt die Euler’sche Formel
e i t = cos t + i sin t
Anschaulich beschreibt die Abbildung R → C, t ↦→ exp(i t) also das Aufwickeln
der reellen Zahlengerade auf den Einheitskreis in der komplexen Zahlenebene
{z ∈ C | |z| = 1}. Insbesondere erfüllen unsere Hauptdarsteller die
bemerkenswerte Identität
e i π = −1
Aus exp(− i t) = exp(i t) folgern wir umgekehrt für alle t ∈ R die Formeln
cos t = ei t − i t + e
2
und sin t = ei t − i t − e
2 i
Benutzen wir diese Formeln, um den Sinus und Cosinus zu Funktionen C → C
auszudehnen, und dehnen wir ihre hyperbolischen Analoga in derselben Weise
zu Funktionen C → C aus, so können wir die formale Analogie zwischen
diesen Funktionen präzisieren zu den Formeln cos z = cosh i z und sin z =
− i sinh i z für alle z ∈ C. In der angelsächsischen Literatur wird manchmal
auch die Abkürzung exp(i z) = cis(z) verwendet, die wohl auf die Euler’sche
Formel exp(i z) = cos z + i sin z zurückzuführen ist.
Ergänzende Übung 1.1.5. Man zeige mit der Euler’schen Formel aus 1.1.4 die
Identität sin 3 ϑ = 3
4
sin ϑ − 1
4 sin(3ϑ).
1.1.6 (Kern und Bild der komplexen Exponentialfunktion). Nach
1.1.4 induziert die Exponentialfunktion eine Surjektion der imaginären Geraden
i R auf den Einheitskreis {z ∈ C | |z| = 1}. Daß die Exponentialfunktion
eine Bijektion R ∼ → R>0 induziert, wissen wir bereits aus II.3.2.11. Da nun
jede von Null verschiedene komplexe Zahl w sich schreiben läßt als Produkt
w = (w/|w|)|w| mit w/|w| auf dem Einheitskreis und |w| positiv, ist
die Exponentialfunktion nach der Funktionalgleichung sogar ein surjektiver
Gruppenhomomorphismus exp : C ↠ C × . Der Kern dieses Gruppenhomomorphismus,
als da heißt das Urbild des neutralen Elements 1 ∈ C × besteht
aufgrund unserer Gleichungen | exp z| = exp(Re z) und e i t = cos t + i sin t
genau aus allen ganzzahligen Vielfachen von 2π i, in Formeln
ker(exp) = 2π i Z