Analysis

556 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
Indem wir unsere Funktion etwas “verschmieren” erhalten wir auch eine stetige
Funktion auf R 2 mit entsprechenden Eigenschaften, und durch geeignete
Transformation sogar eine stetige reellwertige Funktion auf dem offenen Einheitsquadrat
derart, daß die partiellen Integrale existieren und selbst wieder
integrierbar sind, das Endresultat jedoch von der Integrationsreihenfolge abhängt.
Beweis von Satz 6.6.18. Ist f nichtnegativ, so folgt die Behauptung aus dem
positiven Fubini 6.6.8, denn aus
Y X f(x, y)µ〈x〉 ν〈y〉 < ∞ folgt, daß die
Menge N aller y ∈ Y mit
f(x, y)µ〈x〉 = ∞ Maß Null hat. Im allgemeinen
X
folgt die Behauptung dann mit der Zerlegung f = f + − f − .
Beispiel 6.6.22. Wir integrieren die Funktion y über die durch eine Parabel
und die Gerade y = 0 begrenzte Fläche P = {(x, y) | 0 ≤ y ≤ 1 − x2 } und
erhalten
1
1−x2 1
(1 − x
y =
y dy dx =
2 ) 2
dx
2
P
=
−1
1
−1
0
−1
1
2 − x2 + x4 x x3
dx = −
2 2 3
Teilen wir noch durch die Gesamtfläche
1
1 = (1 − x 2 ) dx = x − x3
3
P
−1
x5
+
10
1
−1
1
−1
= 1 − 2 1
+
3 5
= 2 − 2
3
= 4
3
= 8
15
so ergibt sich die Höhe des Schwerpunkts unserer abgeschnittenen Parabelfläche
zu 2.
Hier haben wir den Satz von Fubini, und zwar die positive Variante,
5
angewandt auf das Produkt der Funktion y mit der charakteristischen Funktion
[P ] unserer Fläche P . Die Funktion y ist meßbar, weil sie stetig ist, die
Funktion [P ] ist meßbar als charakteristische Funktion einer meßbaren da abgeschlossenen
Menge, und das Produkt dieser beiden meßbaren Funktionen
ist damit auch meßbar nach 6.3.18.
Übung 6.6.23. Jede stetige reellwertige Funktion auf einem kompakten Quader
im R n ist integrierbar und ihr Riemann-Integral nach 2.1.1 stimmt mit
ihrem Lebesgue-Integral überein. Hinweis: 6.5.13.
Übung 6.6.24. Zeige: Die Menge {x ∈ R n | 0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn ≤ 1} hat das
Volumen (n!) −1 .
Übung 6.6.25. Man diskutiere den Zusammenhang zwischen dem Satz von
Fubini und dem Satz über das Produkt von Reihen II.2.6.11.