Analysis

5. UNAUSGEGORENES ZUR FUNKTIONENTHEORIE 1443
SkriptenBilder/BildQCo.png
Dies Bild kam bereits in ?? vor als Illustration für die Abbildung z ↦→ z 2 der
komplexen Zahlenebene auf sich selbst. Es illustriert damit auch die lokale
Struktur einer verzweigten Überlagerung in einer Umgebung einer Stelle x
mit Verzeigungsindex n(x) = 2. Der Begriff der Verzweigung kommt wohl
vom reellen Bild her, wenn man bei einem Polynom mit (R[T ])[X] in zwei
Veränderlichen untersucht, wie die Nullstellen als Polynom in X abhängen
vom Wert von T. Mehrfache Nullstellen werden sich beim Wackeln an T oft
in mehrere einfache Nullstellen trennen alias verzweigen, und das ist die
Vorstellung, die dem Begriff der Verzweigung zugrundeliegt. Zum Beispiel
hat X 2 − T bei T = 0 eine doppelte reelle Nullstelle, die sich beim
Verwackeln zu T > 0 in zwei reelle Nullstellen trennt, während sie beim
Verwackeln zu T < 0 im Reellen nicht mehr zu sehen ist und sich in zwei
rein imaginäre Nullstellen trennt. Wie sich die komplexen Nullstellen beim
Bewegen von T in der komplexen Ebene verhalten, illustriert das obige Bild.