Analysis

2. FOURIERTRANSFORMATION 679
folgenden Diagramm mit abstrakten Fouriertransformationen von Schwarzmaßen
zu Schwarzfunktionen nach 2.2.11 in den Horizontalen das “Einmalim-Kreis-Herumgehen”
an jeder Stelle die Identität:
M(V )
·λ
◦ can
F
S( V ˆ )
· ˆ λ
S(V ) S( ˆ
V ) M( ˆ
V )
2.3.15. Das Vorzeichen aus der Inversionsformel 2.1.18 versteckt sich bei dieser
Formulierung in der Definition des kanonischen Isomorphismus can : V ∼ →
ˆV aus 2.3.3.
Beweis. Wir dürfen ohne Beschränkung der Allgemeinheit V = R n annehmen
und in diesem Fall folgt die Behauptung ohne weitere Schwierigkeiten
aus der konkreten Version 2.1.18.
Ergänzung 2.3.16. Verwenden wir die schieflinearen Einbettungen in die Dualräume
M(V ) ↩→ S(V ) ∗ gegeben durch µ ↦→ (f ↦→ f ¯µ) und Cb(V ) ↩→
M(V ) ∗ gegeben durch f ↦→ (µ ↦→ ¯ fµ) und entsprechend mit ˆ V statt V , so
wird das kommutative Viereck aus 2.3.14 in verträglicher Weise in das entsprechende
transponierte und auf den Kopf gestellte Viereck eingebettet. In
Formeln ausgedrückt kommutiert mit den so erklärten schieflinearen schrägen
Pfeilen nach ganz außen also das Diagramm
S(V ) ∗
F ⊤
∼
M( V ˆ ∗
)
F
M(V )
Cb( ˆ
V )
M(V ) F
∼
S( ˆ
V )
(·λ) ⊤ ≀
M(V ) ∗
Cb(V )
·λ ≀
S(V )
F
∼
F
F ⊤
∼
F
· ˆ ≀ λ
M( ˆ V )
≀
(· ˆ λ) ⊤
M(
ˆ V )
S( ˆ V ) ∗