Analysis

730 KAPITEL V. FUNKTIONENRÄUME UND SYMMETRIEN
Übung 3.5.5. Sei X ein endlichdimensionaler reeller Raum und sei weiter
Λ : Cc(X, R) → R eine Linearform mit der Eigenschaft, daß für alle Kompakta
K ⊂ X ihre Restriktion auf CK(X, R) stetig ist für die Norm der
gleichmäßigen Konvergenz. So ist Λ die Differenz zweier nichtnegativer Linearformen.
Hinweis: Für f ∈ Cc(X) mit f ≥ 0 setze man
Λ+(f) = sup{Λ(g) | 0 ≤ g ≤ f}
und zeige, daß das endlich ist mit Λ+(f + h) = Λ+(f) + Λ+(h) für f, h ≥ 0
und Λ+(af) = aΛ+(f) für a ∈ R≥0. Gegeben f ∈ Cc(X) setze man Λ+(f) =
Λ+(f+) − Λ+(f−) für f = f+ − f− die Zerlegung in einen positiven und einen
negativen Teil wie in IV.6.5.1 und zeige, daß Λ+ : Cc(X) → R nichtnegativ
und linear ist. Schließlich zeige man, daß auch Λ+ − Λ nichtnegativ ist.
3.6 Der Spektralsatz für selbstadjungierte Operatoren
Definition 3.6.1. Seien (X, M) ein Meßraum und H ein Hilbertraum. Ein
auf X definiertes H-teilraumwertiges Maß ist eine Abbildung E, die jeder
meßbaren Menge M ∈ M einen abgeschlossenen Teilraum E(M) ⊂ H
zuordnet derart, daß gilt:
1. Für je zwei disjunkte Mengen M, M ′ aus M sind die zugehörigen Teilräume
orthogonal, in Formeln M ∩ M ′ = ∅ ⇒ E(M) ⊥ E(M ′ );
2. Für jede abzählbare Familie (Mν)ν∈N von meßbaren Mengen mit Vereinigung
M ist das Erzeugnis der E(Mν) ein dichter Teilraum von E(M).
3.6.2. Aus der ersten Bedingung folgt über den Fall M = M ′ = ∅ insbesondere
E(∅) = 0. Das Konzept eines teilraumwertigen Maßes scheint mir besonders
gut verständlich. Bei der expliziten Arbeit erweist sich jedoch das gleichwertige
Konzept eines projektorwertigen Maßes als praktischer, das wir als
nächstes diskutieren. Die Äquivalenz beider Konzepte dürfen sie als Übung
3.6.4 selbst ausarbeiten.
Definition 3.6.3. Sei (X, M) ein Meßraum und H ein Hilbertraum. Eine
Abbildung Φ : M → B(H) heißt ein auf X definiertes projektorwertiges
Maß genau dann, wenn die Operatoren Φ(M) alle selbstadjungiert und
idempotent sind, also nach 1.7.8 orthogonale Projektoren auf abgeschlossene
Teilräume, und wenn darüber hinaus gilt:
1. Aus M ∩ M ′ = ∅ folgt Φ(M) ◦ Φ(M ′ ) = 0;
2. Für jede aufsteigende Folge meßbarer Mengen M0 ⊂ M1 ⊂ . . . mit
Vereinigung M gilt Φ(Mn)v → Φ(M)v ∀v ∈ H.