Analysis

72 KAPITEL I. ALLGEMEINE GRUNDLAGEN
Übung 3.3.11 (Universelle Eigenschaft von (Z, +)). Man zeige, daß für
jede Gruppe G die Vorschrift ϕ ↦→ ϕ(1) eine Bijektion
Grp(Z, G) ∼ → G
liefert. Ein Gruppenhomomorphismus von der additiven Gruppe der ganzen
Zahlen in irgendeine weitere Gruppe ist also in Worten festgelegt und festlegbar
durch das Bild des Elements 1 ∈ Z. Hinweis: Man erinnere 3.2.10.
Man beachte, daß die 1 nicht das neutrale Element der Gruppe Z meint,
die hier vielmehr als additive Gruppe zu verstehen ist. Man gebe explizit
den Gruppenhomomorphismus Z → Z mit 1 ↦→ 5 an. Man gebe explizit den
Gruppenhomomorphismus Z → Q\{0} mit 1 ↦→ 5 an.
Ergänzende Übung 3.3.12 (Universelle Eigenschaft von (N, +)). Man zeige,
daß für jedes Monoid G die Vorschrift ϕ ↦→ ϕ(1) eine Bijektion
Mon(N, G) ∼ → G
liefert. Ein Monoidhomomorphismus vom additiven Monoid der natürlichen
Zahlen in irgendein weiteres Monoid ist also in Worten festgelegt und festlegbar
durch das Bild des Elements 1 ∈ N. Hinweis: Man erinnere 3.1.16.
Wenn man es ganz genau nimmt, muß man für diese Übung die Diskussion
der natürlichen Zahlen ?? abwarten.
Ergänzung 3.3.13. Eine Menge mit einer assoziativen Verknüpfung heißt auch
eine Halbgruppe. Gegeben Halbgruppen H und G schreiben wir Halb(H, G)
statt Mag(H, G) für die Menge aller mit der Verknüpfung verträglichen Abbildungen
von H nach G, als da heißt, aller Halbgruppenhomomorphismen.
Für jede Halbgruppe G liefert dann die Vorschrift ϕ ↦→ ϕ(1) eine
Bijektion
Halb(N≥1, G) ∼ → G
Hierbei ist N≥1 vermittels der Addition als Halbgruppe aufzufassen. Etwas
interessanter wird es, wenn wir Mengen mit völlig beliebigen, nicht notwendig
assoziativen Verknüpfungen betrachten: Betrachten wir die Menge M “aller
möglichen Klammerungen” im Sinne von 3.1.8 und darauf die durch “Hintereinanderschreiben”
erklärte Verknüpfung sowie das Element ∗ ∈ M, das die
einzig mögliche Verklammerung von einem Buchstaben meint, so liefert für
jedes Magma G die Vorschrift ϕ ↦→ ϕ(∗) eine Bijektion
Mag(M, G) ∼ → G
Übung 3.3.14. Jeder Gruppenhomomorphismus ϕ : G → H vertauscht mit
Inversenbildung, in Formeln ϕ(a −1 ) = (ϕ(a)) −1 ∀a ∈ G.