Analysis

1. HOLOMORPHE FUNKTIONEN 1325
1 Holomorphe Funktionen
1.1 Komplexe Differenzierbarkeit
1.1.1. Zunächst einmal bitte ich den Leser, sich die in ?? eingeführten Grundlagen
zum Rechnen mit komplexen Zahlen sowie Abschnitt III.1.1 zur komplexen
Exponentialfunktion in Erinnerung zu rufen.
Definition 1.1.2. Sei U ⊂ C eine Teilmenge und p ∈ U ein Punkt. Eine
Funktion f : U → C heißt komplex differenzierbar bei p mit Ableitung
b ∈ C genau dann, wenn p ein Häufungspunkt von U ist und es gilt
f(z) − f(p)
lim
z→p z − p
Wir kürzen diese Aussage ab durch f ′ (p) = b und nennen f ′ (p) die Ableitung
oder ausführlicher die komplexe Ableitung der Funktion f an der
Stelle p.
1.1.3. Unter einem Häufungspunkt von U verstehen wir in diesem Zusammenhang
einen internen Häufungspunkt von U, also einen Punkt p ∈ U mit
der Eigenschaft, daß es für jedes ε > 0 ein z ∈ U gibt mit 0 < |z − p| < ε.
Der Grenzwert ist hier im Sinne von II.6.6.8 zu verstehen. Ausgeschrieben
für unseren Spezialfall bedeutet limz→p g(z) = b für g : U → C also, daß es
für jedes ε > 0 ein δ > 0 gibt mit 0 < |z − p| < δ ⇒ |g(z) − p| < ε. Unsere
Definition der komplexen Differenzierbarkeit ist identisch zu unserer Definition
der “rellen Differenzierbarkeit” II.4.1.3 bis auf das Detail, daß wir überall
statt reeller Zahlen komplexe Zahlen betrachten, daß wir etwas allgemeinere
Definitionsbereiche zulassen und daß wir, wie im Komplexen üblich, die Variable
mit z bezeichnen. Den Definitionsbereich unserer Funktion haben wir
statt mit I hier mit U bezeichnet, weil der meistgebrauchte Fall nicht mehr
der eines halboffenen Intervalls, sondern vielmehr der einer offenen Teilmenge
der komplexen Zahlenebene sein wird. Der Fall eines halboffenen reellen
Intervalls wird jedoch auch oft vorkommen. In diesem Fall stimmt die hier
definierte Ableitung überein mit der Geschwindigkeit im Sinne von II.7.2.1.
Der Rest dieses Abschnitts besteht darin, unsere Resultate zur reellen Differenzierbarkeit
mitsamt ihren Beweisen im Komplexen zu wiederholen.
1.1.4. Ich gebe noch einige alternative Formulierungen an. Ist U ⊂ C eine
Teilmenge und p ein Häufungspunkt von U, so ist nach II.6.6.11 eine Funktion
f : U → C komplex differenzierbar bei p mit Ableitung b ∈ C genau dann,
wenn es eine Funktion ϕ : U → C gibt, die stetig ist bei p mit Funktionswert
ϕ(p) = b derart, daß für alle z ∈ U gilt
= b
f(z) = f(p) + (z − p)ϕ(z)