Analysis

3. KLASSISCHE MECHANIK 1261
die man als das relativistische Analogon der Beschleunigung ansehen mag.
Die Bewegungsgleichung eines Teilchens mit der Ladung e und der Ruhemasse
m im elektromagnetischen Feld F ist nun die Gleichung
m d 2 ηγ = e ˜ Fγ(η)(dηγ)
und soll für alle Eigenzeiten η als Gleichung in M ⊗ X ⊗(Z ∗ ) ⊗2 gelten, wobei
nur die Bedeutung von ˜ F noch zu klären ist. Das geschieht im Anschluß.
3.16.6. Um die Bedeutung von ˜ F zu erklären, beginnen wir mit der Einbettung
Alt 2 ( X) ⊂ ( X ⊗ X) ∗ = Hom( X, X ∗ ). Kombinieren wir sie mit der durch
die Lorentzmetrik l : X × X → Q ∗ gegebenen Identifikation X ⊗ Q ∼ → X ∗
oder vielmehr ihrer Inversen, so erhalten wir eine Abbildung
Alt 2 ( X) → Hom( X, X ⊗ Q)
Die Abbildung Z + × Z + → Q ∗ , (α[v], β[v]) ↦→ (q ↦→ αβq(v)) für v ∈ X
kausal und nicht lichtartig und α, β ∈ R>0 ist wohldefiniert und induziert
einen Isomorphismus Z ⊗2 ∼ → Q ∗ alias Q ∼ → (Z ∗ ) ⊗2 , mit dessen Hilfe wir nun
eine Abbildung
Alt 2 ( X) → Hom( X, X ⊗ (Z ∗ ) ⊗2 )
erhalten. Wir notieren sie F ↦→ ˜ F und erhalten in derselben Weise für ein
elektromagnetisches Feld F : X → Alt 2 ( X) ⊗ Z ⊗ M ⊗ C ∗ die Abbildung
˜F : X → Hom( X, X) ⊗ Z ∗ ⊗ M ⊗ C ∗
3.16.7. Wählen wir Koordinaten (x, y, z, t) : X ∼ → R4 auf der Raumzeit
so, daß mit den induzierten Linearformen auf X die Menge der lichtartigen
Vektoren gerade durch
L +
= v ∈
X
x(v) 2 + y(v) 2 + z(v) 2 − c 2 t(v) 2
= 0, t(v) ≥ 0
gegeben wird, so folgt für unsere Weltlinie K zunächst einmal, daß t einen
Diffeomorphismus t : K ∼ → R liefern muß, so daß wir unsere Weltlinie statt
durch ihre Eigenzeit η auch durch die Zeit t in unserem Koordinatensystem
parametrisieren können. Damit hätten wir also eine Parametrisierung unserer
Weltlinie als
γ(t) = (x(t), y(t), z(t), t)
wo wir die in der Physik übliche Schreibweise verwenden und verschiedene
Abbildungen mit demselben Symbol bezeichnen und nur durch die Bezeichnungen
der Variablen klarmachen, welche Abbildung genau gemeint ist. In