Analysis

858 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Terminologie.
Übung 4.2.6. Gegeben Modelle M und eine Menge X ist eine vorgegebene
Familie (Wλ, ϕλ)λ∈Λ mit Wλ offen in Modellen aus M und ϕλ : Wλ ↩→ X
jeweils einer Injektion ein Atlas für die Struktur einer M-Mannigfaltigkeit
auf X genau dann, wenn (1) die Finaltopologie auf X in Bezug auf die ϕλ
Hausdorff ist, wenn (2) für alle λ, µ ∈ Λ die Mengen Wλµ = ϕ −1
λ (ϕµ(Wµ))
offen sind in Wλ und wenn (3) die Kartenwechsel
ϕµλ : Wλµ → Wµλ
Morphismen von geringten Räumen sind. Wegen ϕλµ ◦ϕµλ = id sind sie dann
sogar Isomorphismen.
4.2.7. Wir konzentrieren uns im folgenden auf den Fall von C ∞ -Mannigfaltigkeiten
ohne Rand und nennen sie glatte Mannigfaltigkeiten.
Ergänzung 4.2.8. Gegeben p ≥ q scheint es mir klar, daß man jede C p -Mannigfaltigkeit
auf genau eine Weise so mit der Struktur einer C q -Mannigfaltigkeit
versehen kann, daß Karten Karten bleiben. Für diejenigen Leser, die mit
der Sprache der Kategorien und Funktoren vertraut sind, will ich das auch
noch in voller Allgemeinheit formulieren: Gegeben zwei Mengen von Modellen
M und M ′ und ein Funktor F von der Kategorie aller offenen Teilmengen
von Modellen aus M in die Kategorie der M ′ -Mannigfaltigkeiten, der die
zugrundeliegende Menge nicht ändert und die Struktur als geringter Raum
höchstens vergrößert im Sinne von 4.1.9, erhalten wir ganz allgemein einen
Funktor
F : M-Mannigfaltigkeiten → M ′ -Mannigfaltigkeiten
der dadurch charakterisiert werden kann, daß er die zugrundeliegende Menge
nicht ändert und daß für jede Karte U → X der ursprünglichen M-
Mannigfaltigkeit F U → F X eine offene Einbettung in die neu konstruierte
M ′ -Mannigfaltigkeit ist. Zum Beispiel können wir so jede Riemann’sche Fläche
als eine zweidimensionale reelle C ∞ -Mannigfaltigkeit auffassen.
Lemma 4.2.9 (Projektive Räume als glatte Mannigfaltigkeiten). Die
projektiven Räume P n K für K = R, C oder H werden mit der finalen Struktur
zur von K n+1 induzierten C ∞ -Struktur auf K n+1 \0 glatte Mannigfaltigkeiten.
4.2.10. Dasselbe gilt für die reell-analytischen und im Fall K = C oder K = H
auch für die komplex-analytischen Strukturen. Im Fall P 1 C kann man die
Struktur als Riemann’sche Fläche alternativ erklären als die finale Struktur
zu den beiden Abbildungen C ↩→ P 1 C gegeben durch z ↦→ 〈z, 1〉 und z ↦→
〈1, z〉. Das ist insofern einfacher, als diese Beschreibung ohne den Begriff
komplexanalytischer Funktionen in mehreren Veränderlichen auskommt.