Analysis

13. STETIGE DARSTELLUNGEN VON LIE-GRUPPEN 1119
13 Stetige Darstellungen von Lie-Gruppen
13.1 Differenzieren vektorwertiger Funktionen
13.1.1. In der Analysis, genauer in IV.1.2.2, haben wir unter anderem das
Differenzieren von Abbildungen von einer halboffenen Teilmenge eines normierten
reellen Raums in einen normierten reellen Vektorraum besprochen.
Es ist nun so, daß die dort gegebenen Definitionen, Resultate und Beweise
sich ohne Schwierigkeiten verallgemeinern lassen auf den Fall von Abbildungen
von einer halboffenen Teilmenge eines normierten reellen Raums
oder auch einer offenen Teilmenge einer Mannigfaltigkeit in einen beliebigen
reellen Hausdorff’schen topologischen Vektorraum. Wir formulieren im Folgenden
als Referenz die Definitionen und Resultate in dieser Allgemeinheit,
überlassen die Beweise jedoch im Wesentlichen dem Leser.
Definition 13.1.2. Sei (E, ) ein normierter Raum, V ein Hausdorff’scher
topologischer Vektorraum, U ⊂ E eine halboffene Teilmenge und f : U → V
eine Abbildung. Wir nennen f differenzierbar an der Stelle p ∈ U genau
dann, wenn es eine stetige lineare Abbildung L : E → V gibt derart, daß gilt
f(p +
lim
h→0
h) − f(p) − Lh h Gibt es solch eine Abbildung L, so ist sie wohlbestimmt, heißt das Differential
von f bei p und wird notiert L = : dpf. Im Spezialfall E = R
vereinbaren wir des weiteren die Notation f ′ (p) := (dpf)(1).
13.1.3. Nehmen wir hier an, daß die Topologie auf V von einer Norm herkommt,
so erhalten wir modulo der üblichen Identifikation von V mit seinem
eigenen Richtungsraum unsere bisherige Definition IV.1.2.2.
Satz 13.1.4 (Kettenregel, erste Variante). Seien U, V normierte reelle
Räume und W ein Hausdorff’scher topologischer Vektorraum. Seien A ⊂ U,
B ⊂ V halboffene Teilmengen und seien f : A → V, g : B → W Abbildungen
mit f(A) ⊂ B. Ist f differenzierbar in p ∈ A und g differenzierbar in f(p) ∈
B, so ist auch g ◦ f differenzierbar in p ∈ A und es gilt
= 0
dp(g ◦ f) = (df(p)g) ◦ (dpf)
Beweis. Man kopiere den Beweis des Spezialfalls IV.1.3.1.
Definition 13.1.5. Sei M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, f : M → V
eine Abbildung in einen Hausdorff’schen topologischen Vektorraum und p ∈