Analysis

1202 KAPITEL VII. MIST UND VERSUCHE
3.1.8. Unter einem Gravitationsfeld versteht man eine Abbildung
G : E → E ⊗ 〈〈1/s 2 〉〉
und die von einem derartigen Feld auf ein Teilchen der Masse m ausgeübte
Kraft wird gegeben durch die Gleichung
F = mG
Die Bewegungsgleichung für ein Teilchen beliebiger Masse in einem Gravitationsfeld
G lautet damit
¨γ = G ◦ γ
und ist aufzufassen als eine Gleichheit von Abbildungen T → E ⊗ 〈〈1/s 2 〉〉.
Beispiel 3.1.9 (Flugbahn eines geworfenen Massenpunktes). An der
Erdoberfläche kann das Gravitationsfeld lokal recht gut approximiert werden
durch das konstante Feld (9,8)m/s 2 , wobei m ∈ E denjenigen einen Meter
langen Vektor bezeichnet, der an der gegebenen Stelle in Richtung des
Erdmittelpunkts zeigt. Bezeichnet nun t : R ∼ → T die Identifikation der reellen
Zahlengeraden mit der Zeitachse vermittels der Abbildungsvorschrift
t : x ↦→ t0 + xs für einen beliebigen Zeitpunkt t0 und unsere Zeiteinheit
Sekunde s ∈ T, so werden die Ableitungen der Verknüpfung γ : R → E,
x ↦→ γ(t0 + xs) nach der Kettenregel gegeben durch
dγ
dx
dγ dt
=
dt dx
= sdγ
dt
und
d2γ (dx) 2 = s d2γ (dt) 2
dt
dx = s2 d2γ (dt) 2
Hier ist nun natürlich alles mögliche implizit zu verstehen, aber das alles
auszuschreiben führt zu ungenießbaren Formeln. So ergibt sich für die Bewegung
eines Teilchens, etwa einer Kanonenkugel, bei Vernachlässigung des
Luftwiderstands die für die Artillerie offensichtlich fundamentale Bewegungsgleichung
d2γ = (9, 8)m
(dx) 2
Deren allgemeine Lösung ergibt sich durch direktes Integrieren zu
γ(xs + t0) = (4,9)x 2 m + xa + p0
mit a ∈ E einem festen Richtungsvektor und p0 ∈ E einem festen Ort, und
durch Einsetzen von xs = τ erhalten wir
γ(τ + t0) = (4,9)τ 2 (m/s 2 ) + τv0 + p0
mit v0 = a/s der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t0 und p0 ∈ E dem Ort
zum Zeitpunkt t0.