Analysis

4. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN 883
4.6.8. Das s-fache eines Vektorfelds hat offensichtlich als Integralkurven die
mit s-facher Geschwindigkeit durchlaufenen Integralkurven des ursprünglichen
Vektorfelds. In Formeln gilt für alle s ∈ R also γsA(t) = γA(st) und
damit exp(sA) = γA(s) für alle s ∈ R, A ∈ TeG.
Übung 4.6.9. Man beschreibe die Exponentialabbildung für die Liegruppe
(R, +). Man beschreibe die Exponentialabbildung für einen endlichdimensionalen
reellen Vektorraum, aufgefaßt als Liegruppe.
Satz 4.6.10 (Eigenschaften der Exponentialabbildung). Für jede Liegruppe
G ist die Exponentialabbildung exp : TeG → G glatt und ihr Differential
am Ursprung entspricht unter den üblichen Identifikationen der Identität
auf TeG.
4.6.11. Ganz präzise formuliert behauptet also unser Satz, daß die Komposition
TeG ∼ → T0(TeG) → TeG der kanonischen Abbildung aus 4.3.4 mit
d0(exp) die Identität ist. Der Beweis braucht einige Vorbereitungen und wird
im Anschluß an 4.6.15 gegeben.
4.6.12. Da ihr Differential bei Null bijektiv ist, liefert die Exponentialabbildung
exp : TeG → G einen Diffeomorphismus zwischen einer offenen Umgebung
der Null im Tangentialraum TeG und einer offenen Umgebung des
neutralen Elements e in unserer Gruppe G.
4.6.13. Mit 1.6.3 folgt, daß die hier definierte Exponentialabbildung im Fall
von Matrix-Liegruppen unter den entsprechenden Identifikationen mit der
Exponentialabbildung für Matrizen zusammenfällt.
Definition 4.6.14. Für ein Vektorfeld auf einer glatten Mannigfaltigkeit X,
das zu jedem Anfangswert q ∈ X eine größte Integralkurve γq : Iq → X
besitzt, erklären wir seinen Fluß als die Abbildung
Φ : (t, q) ↦→ γq(t)
von der Menge ˜ X = {(t, q) ∈ R × X | t ∈ Iq}, dem sogenannten Definitionsbereich
des Flusses, in unsere Mannigfaltigkeit.
Satz 4.6.15 (Flüsse von Vektorfeldern auf Mannigfaltigkeiten). Gegeben
ein glattes Vektorfeld auf einer glatten Mannigfaltigkeit hat sein Fluß
offenen Definitionsbereich und ist ebenfalls glatt.
Beweis. Das folgt ohne Schwierigkeiten aus dem in IV.5.5.2 behandelten Fall,
daß unsere glatte Mannigfaltigkeit eine offene Teilmenge eines reellen affinen
Raums ist.