Analysis

182 KAPITEL II. FUNKTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN
Beweis. Nach unseren Annahmen gibt es eine stetige Funktion ohne Nullstelle
ϕ : I → R mit f(x) − f(p) = (x − p)ϕ(x) und ϕ(p) = f ′ (p). Setzen wir
hier x = f −1 (y), so ist ψ = 1/(ϕ ◦ f −1 ) : f(I) → R eine stetige Funktion mit
(y − q)ψ(y) = f −1 (y) − f −1 (q) und ψ(q) = 1/f ′ (p).
Beispiel 4.2.10. Die Ableitung des Logarithmus ist mithin
log ′ (q) =
1
exp(log q)
= 1
q
Damit ergibt sich für alle a ∈ R die Ableitung der allgemeinen Potenzen,
also der Funktionen (0, ∞) → R, x ↦→ xa , zu x ↦→ axa−1 . In der Tat, nach
Definition gilt ja xa = exp(a log x), die Ableitung wird also a 1 exp(a log x) =
x
axa−1 .
Lemma 4.2.11. Die Funktion f : R → R,
f(x) =
−1/x e
0
x > 0
x ≤ 0
ist beliebig oft differenzierbar.
Beweis. Wir betrachten allgemeiner für alle n ∈ N die Funktion fn : R → R,
fn(x) =
x −n e −1/x x > 0
0 x ≤ 0
und zeigen, daß sie differenzierbar ist mit Ableitung f ′ n = −nfn+1 + fn+2.
Damit sind wir dann natürlich fertig. Das einzige Problem ist die Ableitung
an der Stelle p = 0, wo wir nachweisen müssen, daß die Sekantensteigungen
“von rechts” auch gegen Null streben, daß also für alle n ∈ N gilt
lim
x↘0 x−n−1 e −1/x = 0
Nun wissen wir aber nach der Definition von exp, daß für jedes m ∈ N
und x > 0 gilt exp(x) > x m /m!. Für jedes n ∈ N und x > 0 gilt also
exp(1/x) > x −n−2 /(n + 2)! und wir folgern 0 < x −n−1 e −1/x < (n + 2)! x für
x > 0.
4.3 Folgerungen aus Eigenschaften der Ableitung
Definition 4.3.1. Eine Teilmenge der reellen Zahlen oder auch der erweiterten
reellen Zahlen R heißt offen genau dann, wenn sie für jeden ihrer Punkte
eine Umgebung ist. In Formeln ist demnach eine Teilmenge U ⊂ R offen genau
dann, wenn es für jeden Punkt p ∈ U ein ε > 0 gibt mit (p−ε, p+ε) ⊂ U.