Analysis

318 KAPITEL III. ANALYSIS MIT KOMPLEXEN ZAHLEN
Als Stammfunktion finden wir damit sofort
x3 3 − x2 3
+ 5x − 8 log |x + 1| −
(x + 1)
Ergänzung 1.4.6. Gegeben eine rationale Funktion R = P/Q betrachten wir
die Funktion D → R, t ↦→ R(e t ) mit dem Definitionsbereich D = {t ∈ R |
Q(e t ) = 0}. Das Integral eines solchen rationalen Ausdrucks in e t kann man
auf das Integral einer rationalen Funktion zurückführen durch die Substitu-
tion x = e t , dx = e t dt = x dt. Zum Beispiel berechnen wir
dt
cosh t =
2 dt
e t + 1
e t
=
2 dx
x 2 + 1 = 2 arctan x = 2 arctan(et )
Das Integral eines rationalen Ausdrucks in n√ t für eine natürliche Zahl n ≥ 1
kann man ähnlich durch die Substitution n√ t = x, dt = nx n−1 dx auf das
Integral einer rationalen Funktion in x zurückführen.
Ergänzung 1.4.7. Das Integral eines rationalen Ausdrucks im Funktionenpaar
(sin, cos) wie zum Beispiel
sin 3 (τ) + cos(τ)
cos(τ) + cos 2 (τ)
kann man auffassen als Kurvenintegral im Sinne von II.7.3.6 einer rationalen
Funktion in zwei Veränderlichen, in unserem Beispiel der Funktion
R(x, y) = y3 + x
x + x 2
über ein Stück der Kreislinie. Mit der Umparametrisierung aus II.7.6.17, d.h.
mithilfe der Substitution t = tan(τ/2) und folglich sin(τ) = 2t/(1 + t 2 ),
cos(τ) = (1 − t 2 )/(1 + t 2 ), dτ = 2/(1 + t 2 ) dt läßt es sich dann umwandeln
in ein Integral einer rationalen Funktion einer Veränderlichen. Integrale über
rationale Ausdrücke im Funktionenpaar ( √ 1 − x 2 , x) kann man in ähnlicher
Weise als Kurvenintegral auffassen und lösen, im Gegensatz zu eben hat
nur x ↦→ ( √ 1 − x 2 , x) nicht konstante absolute Geschwindigkeit 1, sondern
vielmehr die absolute Geschwindigkeit 1/ √ 1 − x 2 . Formal mag man auch
x = sin t, dx = cos t dt substituieren und sich so auf den bereits behandelten
Fall eines rationalen Ausdrucks im Funktionenpaar (sin, cos) zurückziehen.
Ergänzung 1.4.8. Integrale von rationalen Ausdrücken in den Funktionenpaaren
( √ x 2 + 1, x) bzw. ( √ x 2 − 1, x) kann man auf die bereits in 1.4.6
behandelten Integrale rationaler Funktionen in e t zurückführen durch die
Substitution x = sinh t, dx = cosh t dt bzw. x = cosh t, dx = sinh t dt. Die
geometrische Bedeutung dieses Tricks wird in IV.3.3.13 erklärt.
Ergänzende Übung 1.4.9. Man finde eine Stammfunktion zu 1/(1 + x 4 ).