Analysis

288 KAPITEL II. FUNKTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN
Familien in endlichdimensionalen normierten Räumen. In beliebigen normierten
Räumen gilt es jedoch nicht mehr, ein typisches Gegenbeispiel ist etwa
die “Konvergenz im quadratischen Mittel” in III.3.3.5 oder allgemeiner in
V.1.4.18.
Übung 7.5.18. Man zeige, daß eine summierbare Familie in einem Banachraum
höchstens abzählbar viele von Null verschiedene Summanden haben
kann.
Ergänzung 7.5.19. In allgemeinen “Hausdorff’schen topologischen Vektorräumen”
kann es auch summierbare Familien mit überzählbar vielen von Null
verschiedenen Summanden geben. Ist zum Beispiel X eine überzählbare Menge
mit ihrer diskreten Topologie und C(X, R) der Raum der reellwertigen
Funktionen auf X mit seiner kompakt-offenen Topologie, so ist die Familie
der charakteristischen Funktionen aller Punkte von X summierbar mit der
konstanten Funktion Eins als Summe.
Ergänzende Übung 7.5.20. Gegeben eine summierbare Familie (vi)i∈I in einem
Banachraum zeige man, daß auch jede Teilfamilie summierbar ist und
daß für eine beliebig vorgegebene Zerlegung I =
k∈K I(k) von I in eine
Vereinigung von paarweise disjunkten Teilmengen I(k) gilt
vi =
⎛
⎝
⎞
⎠
i∈I
k∈K
i∈I(k)
Hinweis: Man beginne mit dem Fall, daß K endlich ist. Die Aussage gilt allgemeiner
für jede vollständige Hausdorff’sche abelsche topologische Gruppe.
Definition 7.5.21. Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum V
und eine lineare Abbildung A : V → V definieren wir eine weitere lineare
Abbildung exp(A) : V → V als den Grenzwert der sogenannten Exponen-
tialreihe
exp(A) =
7.5.22. Wählen wir eine Norm auf V und versehen den Raum End V aller
Endomorphismen von V mit der Operatornorm, so gilt offensichtlich A k ≤
A k und unsere Familie ist summierbar nach 7.5.16, da sie nämlich absolut
summierbar ist bezüglich dieser und dann bezüglich jeder Norm. Für eine
Operatornorm wie eben erhält man zusätzlich die Abschätzung exp A ≤
exp A.
Ergänzung 7.5.23. Ist allgemeiner V ein Banachraum und A : V → V eine
stetige lineare Abbildung, so kann man in derselben Weise eine stetige lineare
Abbildung exp(A) : V → V erklären. Der Grenzwert ist in diesem Fall
k∈N
A k
k!
vi