Analysis

4. DIFFERENTIATION UND INTEGRATION 177
4.1.5. Wir geben noch zwei Umformulierungen der Definition der Differenzierbarkeit.
Ist D ⊂ R eine halboffene Teilmenge und p ∈ D, so ist nach
3.3.11 eine Funktion f : D → R differenzierbar bei p mit Ableitung f ′ (p) = b
genau dann, wenn es eine Funktion ϕ : D → R gibt, die stetig ist bei p mit
Funktionswert ϕ(p) = b derart, daß für alle x ∈ D gilt
f(x) = f(p) + (x − p)ϕ(x)
Anschaulich bedeutet diese Forderung, daß die sogenannte “Sekantensteigungsfunktion”
ϕ(x) = (f(x) − f(p))/(x − p) durch die Vorschrift ϕ(p) = b
stetig an die Stelle p fortgesetzt werden kann. In nochmals anderen Formeln
ist unsere Funktion f : D → R differenzierbar bei p mit Ableitung b genau
dann, wenn gilt
f(p + h) = f(p) + bh + ε(h)h
für eine Funktion ε, die stetig ist bei Null und die dort den Wert Null annimmt.
Hierbei ist zu verstehen, daß die Funktion ε definiert sein soll auf der
Menge aller h mit h + p ∈ D. Diese Formulierung des Ableitungsbegriffs hat
den Vorteil, besonders gut zum Ausdruck zu bringen, daß für festes p und
kleines h der Ausdruck f(p) + bh eine gute Approximation von f(p + h) ist.
Beispiele 4.1.6. Eine konstante Funktion auf einer halboffenen Menge von
reellen Zahlen ist bei jedem Punkt besagter Menge differenzierbar mit Ab-
leitung Null. Die Funktion id : R → R, x ↦→ x hat bei jedem Punkt p die
(p) = 1.
Ableitung id ′ (p) = dx
dx
Lemma 4.1.7. Die Funktion x ↦→ 1
x
R × und ihre Ableitung bei einer Stelle p ∈ R × ist − 1
p2 .
Beweis. Wir rechnen limx→p
1 1
− x p
x−p
ist differenzierbar bei jedem Punkt von
= limx→p −1
xp
= − 1
p 2 nach 3.3.12.
Lemma 4.1.8. Sei D ⊂ R halboffen. Ist eine Funktion f : D → R differenzierbar
bei p ∈ D, so ist f stetig bei p.
Beweis. Das folgt sofort aus der vorhergehenden Proposition 4.1.5.
Definition 4.1.9. Ist f : (a, b) → R definiert auf einem offenen Intervall um
einen Punkt p ∈ (a, b) und existieren die Grenzwerte
f(x) − f(p)
lim
x↗p x − p
f(x) − f(p)
bzw. lim
x↘p x − p
im Sinne von 3.3.24, so nennen wir sie die linksseitige bzw. die rechtsseitige
Ableitung von f an der Stelle p.