Analysis

6. MASS UND INTEGRAL 529
Definition 6.2.33. Eine Teilmenge eines Maßraums, die in einer meßbaren
Menge vom Maß Null enthalten ist, heißt eine Nullmenge unseres Maßraums.
Ein Maßraum X = (X, M, µ) heißt vollständig genau dann, wenn
jede Nullmenge bereits meßbar ist, d.h. zu M gehört.
Proposition 6.2.34 (Vervollständigung von Maßräumen). Gegeben
ein Maßraum (X, M, µ) gibt es genau eine Fortsetzung von µ zu einem Maß
µ ∗ auf der von M und den µ-Nullmengen erzeugten σ-Algebra M ∗ , und der
so entstehende Maßraum (X, M ∗ , µ ∗ ) ist vollständig.
Beweis. Erweitern wir µ zu einem äußeren Maß µ ∗ auf P(X) wie im Lemma
6.2.23 und wenden auf dieses äußere Maß das Zerleger-Lemma 6.2.26 an, so
folgt, daß alle µ-Nullmengen bereits µ ∗ -meßbar sind und daß mithin µ ∗ ein
Maß ist auf M ∗ . Das zeigt die Existenz von µ ∗ . Für die Eindeutigkeit prüft
man, daß M ∗ genau aus allen Teilmengen E ⊂ X besteht derart, daß es
A, B ∈ M gibt mit A ⊂ E ⊂ B und µ(B\A) = 0. In der Tat bilden nämlich
alle diese E eine σ-Algebra. Jedes erweiterte Maß µ ∗ nimmt aber auf einer
solchen Teilmenge E notwendig den Wert µ ∗ (E) = µ(A) an.
Übung 6.2.35. Man arbeite den Schluß des vorhergehenden Beweises aus und
zeige, daß gegeben ein Maßraum (X, M, µ) das Mengensystem aller E ⊂ X
derart, daß es A, B ∈ M gibt mit A ⊂ E ⊂ B und µ(B\A) = 0, eine
σ-Algebra ist.
6.2.36. Der Maßraum (X, M ∗ , µ ∗ ) heißt die Vervollständigung des Maßraums
(X, M, µ). Die bezüglich der Vervollständigung des Lebesgue-Maßes
meßbaren Teilmengen von R bzw. R n nennt man die Lebesgue-meßbaren
Teilmengen oder kurz Lebesgue-Mengen. Es ist nicht ganz einfach, eine
Lebesgue-Menge in R explizit anzugeben, die nicht topologisch meßbar ist.
Genauer gesagt wüßte ich selber nicht, wie ich das machen sollte, und müßte
einen Logiker um Hilfe bitten. Man kann jedoch zeigen, daß es im Sinne
der Mengenlehre “mehr” Lebesgue-Mengen in R gibt als topologisch meßbare
Teilmengen, vergleiche etwa ??.
Übung 6.2.37. Man zeige: Eine Teilmenge der reellen Zahlengeraden ist eine
Nullmenge in Bezug auf das Lebesgue-Maß genau dann, wenn sie sich für
jedes ε > 0 durch eine Folge von kompakten Intervallen [an, bn] überdecken
läßt derart, daß gilt ∞
n=0 (bn − an) < ε. Hinweis: 6.2.10 und 6.2.15.
6.3 Meßbare Abbildungen
6.3.1. Bis jetzt haben wir uns nur mit dem Messen von Mengen beschäftigt.
Wir haben gesehen, daß das Messen ganz beliebiger Teilmengen der reellen