Analysis

726 KAPITEL V. FUNKTIONENRÄUME UND SYMMETRIEN
Übung 3.4.15. Gegeben ein selbstadjungierter Operator T auf einem Hilbertraum
H verschwindet das Spektralmaß µ jedes Vektors auf dem Komplement
des Spektrums unseres Operators, in Formeln µ(R\σ(T )) = 0. In anderen
Worten paßt also unsere kanonische Einbettung in ein kommutatives Diagramm
Cc(R) → C(σ(T )) → H
↓ ↓
L 2 (R; µ) ∼ → L 2 (σ(T ); µ) ↩→ H
bei dem die obere Horizontale durch f ↦→ f(T )v gegeben wird.
3.4.16. Wir können nun den Satz über die lokale Struktur unitärer Darstellungen
der reellen Zahlengeraden 3.1.4 zeigen im Fall, daß alle Vektoren unserer
Darstellung (H, ρ) differenzierbar sind. In der Tat ist dann der infinitesimale
Erzeuger S unserer Darstellung schiefadjungiert und folglich i S selbstadjungiert.
Dann aber finden wir nach 3.2.14 genau ein Paar (µ, ϕ) bestehend aus
einem kompakt getragenen Borelmaß µ auf R und einer unitären Einbettung
ϕ : L 2 (R; µ) ↩→ H mit ϕ(1) = v, die das Diagramm
L 2 (R; µ) ↩→ H
(x·) ↓ ↓ i S
L 2 (R; µ) ↩→ H
zum Kommutieren bringt. Damit kommutiert das Diagramm auch, wenn wir
beide Vertikalen mit − i t multiplizieren und darauf exp anwenden, und das
zeigt die in 3.1.4 behauptete Existenz von (µ, ϕ) in diesem Fall. Der Nachweis
der Eindeutigkeit im vorliegenden Fall, also immer noch unter der Annahme,
daß alle Vektoren unserer Darstellung differenzierbar sind, mag dem Leser
überlassen bleiben.
Definition 3.4.17. Gegeben ein positiv semidefiniter selbstadjungierter Operator
T auf einem Hilbertraum erklären wir
√ T
als den positiv semidefiniten Operator, der daraus durch Anwenden der Funktion
R≥0 → R≥0, x ↦→ √ x entsteht. Das ist erlaubt, da nach 3.4.5 für das
Spektrum gilt σ(T ) ⊂ R≥0.
Definition 3.4.18. Gegeben ein beschränkter Operator A auf einem Hilbertraum
ist A ∗ A selbstadjungiert und positiv semidefinit und wir setzen
|A| := √ A ∗ A