Analysis

10. FUNKTIONEN AUF KOMPAKTEN LIEGRUPPEN 1065
Beweis von 10.12.1. Wir betrachten die zum Fixpunkt (−ρ) verschobene sogenannte
dot-Operation der Weylgruppe auf X(T ) und bilden für λ ∈ X(T )
im Gruppenring des Gewichtegitters den Ausdruck
A(λ) =
w∈W
(−1) l(w) e w·λ
Hier steht A für“alternierend”. Multiplizieren wir beide Seiten der Weyl’schen
Nennerformel mit e −ρ , so ergibt sich die Identität
(1 − e −α ) = A(0)
α∈R +
Nun ist der Gruppenring des Charaktergitters X(T ) ein Ring von Laurentpolynomen
in endlich vielen Veränderlichen und damit insbesondere ein Integritätsbereich
und sogar ein faktorieller Ring. Die 1 − e −α für α ∈ R + sind
darin paarweise teilerfremd, wie der Leser selbst prüfen mag. Die Identität
(1 − e α )(1 + e α + . . . + e nα ) = (1 − e (n+1)α )
zeigt dann, daß A(0) bereits im Gruppenring des Charaktergitters Z[X] jedes
A(λ) teilt, denn e w·λ − e sαw·λ ist stets ein Vielfaches von einem Ausdruck der
Gestalt (1 − e (n+1)α ). Wir können mithin für alle dominanten ganzen λ im
Gruppenring des Charaktergitters den Quotienten
χλ = A(λ)/A(0)
bilden. Er ist sogar invariant unter der Weylgruppe, denn rechnen wir in
einem geeignet vergrößerten Gruppenring und erweitern unseren Bruch mit
e ρ , so werden Nenner und Zähler unter der Weylgruppe antiinvariant. Wir
interpretieren unsere Quotienten nun als unter der Weylgruppe invariante
Funktionen auf T und dehnen sie aus zu Klassenfunktionen χλ auf G. So
erhalten wir ein Orthonormalsystem von Klassenfunktionen, denn mit der
Weyl’schen Integrationsformel 10.12.3 ergibt sich
G
¯χλχν =
T
A(λ)A(ν) j
A(0)A(0) |W |
1
= A(λ)A(ν) = δλν
|W | T
Andererseits hat A(λ)/A(0) Leitterm e λ und daraus folgt, daß die Restriktionen
der Funktionen χλ eine C-Basis des Raums R(T ) W der W -invarianten
darstellenden Funktionen auf dem Torus T bilden, ja sogar eine Z-Basis des
Teilrings Z[X] W . Ist V eine endlichdimensionale Darstellung von G, so liegt