Analysis

870 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
4.3.21. Ist I ⊂◦ R offen und X eine glatte Mannigfaltigkeit und γ : I → X
eine glatte Abbildung, so definieren wir den Geschwindigkeitsvektor von
γ zum Zeitpunkt t als
˙γ(t) = (dtγ)(1) ∈ Tγ(t)X
Gemeint ist mit dieser Formel der Wert des Differentials dtγ : TtI → Tγ(t)X
auf dem Bild von 1 ∈ R unter der kanonischen Identifikation R ∼ → TtI.
Satz 4.3.22 (Einparameteruntergruppen von Liegruppen). Alle stetigen
Gruppenhomomorphismen γ : R → G von der additiven Gruppe der
reellen Zahlen in eine Liegruppe G sind glatt und wir erhalten eine Bijektion
{stetige Gruppenhomomorphismen γ : R → G} ∼ → TeG
indem wir jedem stetigen Gruppenhomomorphismus γ : R → G seine Geschwindigkeit
˙γ(0) zum Zeitpunkt Null zuordnen.
4.3.23. Der Beweis des Satzes braucht einige Vorbereitungen, genauer wird er
sich als Konsequenz der präziseren Aussage 4.6.5 ergeben. Zunächst diskutieren
wir nun Tangentialbündel und Vektorfelder sowie deren Flüsse auf Mannigfaltigkeiten.
Dann konstruieren wir im Satz die Umkehrabbildung, indem
wir jeden Tangentialvektor am neutralen Element unserer Liegruppe durch
Verschiebung vermittels der Linksmultiplikation mit Gruppenelementen zu
einem glatten Vektorfeld auf der ganzen Gruppe ausdehnen und diejenigen
Integralkurven dieser Vektorfelder betrachten, die zum Zeitpunkt Null durchs
neutrale Element laufen. Wir werden in diesem Zusammenhang auch sehen,
daß stetige Gruppenhomomorphismen zwischen Liegruppen immer glatt sind.
Übung 4.3.24. Sei G eine Liegruppe. Man bestimme das Differential am neutralen
Element der Abbildung G → G, g ↦→ g n für n ∈ Z.
4.4 Das Tangentialbündel
Lemma 4.4.1 (Das Tangentialbündel als Mannigfaltigkeit). Gegeben
eine glatte n-Mannigfaltigkeit X gibt es auf der disjunkten Vereinigung
TX =
TxX
x∈X
ihrer Tangentialräume genau eine Struktur als glatte 2n-Mannigfaltigkeit derart,
daß wir für jede Karte ϕ : W ↩→ X von X eine Karte von TX erhalten,
indem wir auf ˆ W := W × R n ⊂◦ R 2n die Abbildung ˆϕ : ˆ W → TX erklären
durch die Vorschrift
ˆϕ : (p, v) ↦→ (dpϕ)(v)