Analysis

1. DIE REELLEN ZAHLEN 105
offensichtlichen Gleichheit
{q ∈ Q | q > −1} =
{q ∈ Q | q > −0,999 . . . 9
}
n≥1
n
von Teilmengen von Q. Sie bedeutet nach 1.4.8 und der Beschreibung des
Infimums im Dedekind’schen Modell der reellen Zahlen R = RD genau die
Gleichheit
−1R = inf{(−0,999 . . . 9)R
| n ≥ 1}
n
und mit unserer Konvention für die Interpretation unendlicher Dezimalbrüche
1.4.15 dann auch die Gleichheit von reellen Zahlen
−1 = −0,999 . . .
Jetzt gilt es nur noch, auf beiden Seiten das Negative zu nehmen. Ich bemerke
weiter, daß es durchaus möglich ist, die Menge aller unendlichen Dezimalbrüche
ohne alle Identifizierungen zu betrachten und mit der Struktur
einer angeordneten Menge zu versehen, in der dann sogar jede nichtleere Teilmenge
mit unterer Schranke eine größte untere Schranke hat. Es ist jedoch
nicht möglich, die gewohnte Addition und Multiplikation von den endlichen
Dezimalbrüchen so auf diese angeordnete Menge fortzusetzen, daß wir einen
angeordneten Körper erhalten. Der naive Ansatz scheitert hier bereits daran,
daß nicht klar ist, wie man mit den eventuell unendlich vielen Überträgen
bei der Addition und Multiplikation umgehen soll.
Ergänzende Übung 1.4.18 (Für höhere Semester). Man zeige 1.4.3.2. Hinweis:
Die gesuchte Bijektion ϕ kann zum Beispiel konstruiert werden durch
die Vorschrift ϕ(α) = inf{qR ′ | q ∈ Q, qR > α}. Man zeige allgemeiner auch,
daß jeder Körperhomomorphismus R → R die Identität ist. Hinweis: Nach
2.3.2 sind die nichtnegativen reellen Zahlen genau die Quadrate, jeder Körperhomomorphismus
R → R erhält also die Anordnung. Andererseits aber
muß er auf Q die Identität sein.