Analysis

508 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
paßt in ein kommutatives Diagramm
C(K, U) × C(K, X)
≀
C(K, U × X)
d(A◦)
C(K, Y )
(dA)◦
C(K, Y )
5.5.5. Hier verstehen wir für jeden normierten Raum Z den Abbildungsraum
C(K, Z) mit seiner Norm der gleichmäßigen Konvergenz und identifizieren
den Richtungsraum unseres Abbildungsraums in der hoffentlich offensichtlichen
Weise mit C(K, Z). In der oberen Horizontalen meinen wir die Abbildung
(γ, α) ↦→ (dγ(A◦))(α) und in der unteren Horizontalen meint dA
entsprechend die Abbildung dA : U × X → X, (x, v) ↦→ (dxA)(v).
Beweis. Es reicht, an jeder Stelle γ ∈ C(K, U) die Differenzierbarkeit zu untersuchen
und das Differential dγ(A◦) zu bestimmen. Gegeben ε > 0 gibt
es für alle x ∈ γ(K) ein größtes η(x) = ηε(x) ∈ (0, 1) derart, daß gilt
B(x; η(x)) ⊂ U und
x − z < η(x) ⇒ dxA − dzA ≤ ε
Man erkennt unschwer, daß η : γ(K) → (0, 1) stetig ist, ja sogar lipschitzstetig
mit Lipschitz-Konstante Zwei. Sei δ = δε > 0 das Minimum von η auf
unserem Kompaktum γ(K). Für x ∈ γ(K) und h ∈ X mit h ≤ δ liefert
dann der Schrankensatz oder vielmehr sein Korollar 1.3.5 die Abschätzung
A(x + h) − A(x) − (dxA)(h) ≤ hε
Für jedes α : K → X mit α ≤ δ gilt also
A ◦ (γ + α) − A ◦ γ − (dA) ◦ (γ, α) ≤ αε
und das war im wesentlichen die Behauptung.
Satz 5.5.6 (Normalform eines Vektorfelds). Gegeben ein glattes Vektorfeld
auf einer offenen Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Raums,
das an einer festen Stelle nicht verschwindet, finden wir für diese Stelle stets
eine offene Umgebung mitsamt einem Diffeomorphismus besagter Umgebung
auf eine offene Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Raums, unter
dem unser Feld zu einem konstanten Feld verwandt ist.
5.5.7. In Koordinaten gesprochen hat also jedes Vektorfeld, daß an einer
vorgegebenen Stelle nicht verschwindet, in geeigneten lokalen Koordinaten
x1, . . . , xn um diese Stelle die Gestalt ∂
∂x1 .