Analysis

6. STRUKTUR KOMPAKTER LIEGRUPPEN 937
6.1.6. In 6.4.15 zeigen wir, daß in einer kompakten zusammenhängenden Liegruppe
der Zentralisator eines Torus stets zusammenhängend sein muß, so
daß für G zusammenhängend sogar gilt ZG(T ) = T . Der Beweis dieses Resultats
basiert jedoch auf dem Satz über maximale Tori 6.1.7, und unser Lemma
hinwiederum wird beim Beweis des Satzes über maximale Tori gebraucht.
Beweis. Sei G unsere kompakte Liegruppe und T ⊂ G ein maximaler Torus.
In Formeln behauptet die Proposition ZG(T ) ◦ = T . Nach 4.6.21 reicht es,
Lie ZG(T ) = Lie T zu zeigen. Für jedes x ∈ Lie ZG(T ) ist aber R × T → G,
(a, t) ↦→ exp(ax)t ein Gruppenhomomorphismus, und hätten wir x ∈ Lie T ,
so wäre das Bild dieses Gruppenhomomorphismus eine zusammenhängende
abelsche Untergruppe von G, die T echt umfaßt. Der Abschluß dieses Bildes
wäre dann auch noch kompakt und damit nach 4.10.2 ein Torus. Dieser Torus
müßte T echt umfassen, und dann könnte T nicht maximal gewesen sein.
Satz 6.1.7 (über maximale Tori). In einer kompakten zusammenhängenden
Liegruppe gehört jedes Element zu einem maximalen Torus und je zwei
maximale Tori sind konjugiert.
Übung 6.1.8. Man zeige, daß in der Gruppe U(n) die unitären Diagonalmatrizen
einen maximalen Torus bilden, und zeige direkt, daß in diesem Fall je
zwei maximale Tori konjugiert sind. Hinweis: Eine Menge von paarweise kommutierenden
diagonalisierbaren Matrizen ist simultan diagonalisierbar nach
??.
Beweis. Seien G unsere zusammenhängende kompakte Liegruppe. Aus Dimensionsgründen
gibt es in G einen maximalen Torus T . Wir zeigen im folgenden
G =
gT g −1
g∈G
Der Satz folgt, denn ist dann S ⊂ G ein weiterer maximaler Torus, so finden
wir nach 4.10.12 einen topologischen Erzeuger s ∈ S und ein g ∈ G mit
s ∈ gT g −1 und damit S ⊂ gT g −1 und so S = gT g −1 . Es bleibt also wie
oben in Formelsprache behauptet zu zeigen, daß die Konjugierten eines festen
maximalen Torus bereits die ganze Gruppe überdecken. Das zeigen wir durch
vollständige Induktion über die Dimension unserer Gruppe. Der Fall einer
nulldimensionalen Gruppe ist klar. Ist ganz allgemein Z ⊂ G das Zentrum
und Z ◦ seine Einszusammenhangskomponente, so ist T Z ◦ nach 4.10.9 ein
Torus und es folgt T ⊃ Z ◦ . Nach 6.1.1 ist dann auch T/Z ◦ ⊂ G/Z ◦ ein
maximaler Torus, und ist Z ◦ nicht trivial, so folgt unsere Behauptung aus der
Induktionsvoraussetzung. Wir dürfen also Z ◦ trivial alias Z diskret und damit
endlich annehmen und dürfen auch annehmen, daß G positive Dimension