Analysis

454 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
Allgemeinheit diskutieren zu können, führen wir hier den Begriff der Untermannigfaltigkeit
einer endlichdimensionalen reellen Raums ein und erklären,
wie man mit diesem Begriff umgeht. Anschließend diskutieren wir dann Extremwertaufgaben.
Definition 4.3.2. Sei X ein reeller Raum endlicher Dimension und k ≥ 0
eine natürliche Zahl. Eine Teilmenge M ⊂ X heißt eine k-dimensionale C 1 -
Untermannigfaltigkeit oder kurz Untermannigfaltigkeit von X genau
dann, wenn es für jeden Punkt p ∈ M ein Paar (U, g) gibt bestehend aus
einer offenen Umgebung U ⊂◦ X von p und einem C 1 -Diffeomorphismus g :
U ∼ → g(U) von U auf eine offene Teilmenge g(U) ⊂◦ R n derart, daß gilt:
g(U ∩ M) = {z ∈ g(U) | zk+1 = . . . = zn = 0}
Ein derartiges Paar (U, g) heißt eine Plättung von M um p. Natürlich gilt
hier notwendig n = dimR X. Auf der rechten Seite unserer Gleichung hätte ich
auch kürzer g(U)∩(R k ×0) schreiben können, wobei die 0 für die einelementige
Menge {0} ⊂ R n−k steht. In vergleichbaren Situationen werde ich von nun an
diese abgekürzte Darstellung bevorzugen. Im Grenzfall k = n = dimR X ist
insbesondere eine Untermannigfaltigkeit dasselbe wie eine offene Teilmenge.
4.3.3. Manche Autoren fordern von Mannigfaltigkeiten zusätzlich, daß sie zusammenhängend
sein sollen. Andere Autoren, zum Beispiel Warner [War83],
verwenden den Begriff einer Untermannigfaltigkeit in einer anderen Bedeutung:
Unsere Untermannigfaltigkeiten im Sinne der vorhergehenden Definition
würden diese Autoren als “eingebettete Untermannigfaltigkeiten” bezeichnen.
4.3.4. Sei X ein reeller Raum endlicher Dimension. Einen C 1 -Diffeomorphismus
g von einer offenen Umgebung U eines Punktes p ∈ X auf eine offene
Teilmenge g(U) eines R n nennt man auch ein lokales Koordinatensystem
um den Punkt p und die Komponenten g1, . . . , gn von g heißen die Koordinaten
gi : U → R unseres Koordinatensystems. Ein typisches Beispiel
sind etwa die Polarkoordinaten auf offenen Teilmengen von X = R 2 , bei denen
man statt (g1, g2) meist (r, ϑ) schreibt. In dieser Terminologie kann etwa
eine Untermannigfaltigkeit von X der Dimension Eins beschrieben werden
als eine Teilmenge M ⊂ X derart, daß es um jeden Punkt p ∈ M ein lokales
Koordinatensystem von X gibt, unter dem M einer Koordinatenachse
entspricht.
Beispiele 4.3.5. Jeder affine Teilraum Y ⊂ X ist eine Untermannigfaltigkeit
der Dimension dim Y. Der Graph jeder C 1 -Funktion f : R 2 → R ist eine
zweidimensionale Untermannigfaltigkeit des R 3 , als Plättung mag man g :