Analysis

732 KAPITEL V. FUNKTIONENRÄUME UND SYMMETRIEN
vom Raum aller Stufenfunktionen auf den Raum aller beschränkten meßbaren
Funktionen fortsetzen läßt. Sei also s eine meßbare Stufenfunktion, die wir
etwa als s = c1[M1]+. . .+cn[Mn] schreiben können mit M1, . . . , Mn paarweise
disjunkt und meßbar. Es gilt, für alle v ∈ H zu zeigen
sΦ v ≤ s∞v
oder ausgeschrieben
c1Φ(M1)v + . . . + cnΦ(Mn)v ≤ s∞v
Nun bilden jedoch die vi = Φ(Mi)v zusammen mit einem weiteren w eine
Zerlegung v = v1 + . . . + vn + w von v in eine Summe von paarweise orthogonalen
Vektoren, und durch Quadrieren beider Seiten sehen wir, daß unsere
Behauptung äquivalent ist zu der offensichtlichen Aussage
c1v1 2 + . . . + cnvn 2 ≤ s 2 ∞(v1 2 + . . . + vn 2 + w 2 )
Übung 3.6.8. Seien (X, M) ein Meßraum, H ein Hilbertraum und Φ : M →
B(H) ein projektorwertiges Maß. Gegeben v ∈ H und f ∈ L∞ (X) gilt
v, fΦ v = f〈v, Φv〉
für das in 3.6.5 definierte Maß 〈v, Φv〉 auf (X, M).
Übung 3.6.9 (Funktorialität des Integrals). Ist A : H → H ′ eine stetige
lineare Abbildung von Hilberträumen und sind auf einem Meßraum (X, M)
projektorwertige Maße Φ in H und Φ ′ in H ′ gegeben mit der Eigenschaft
A ◦ Φ(M) = Φ ′ (M) ◦ A ∀M ∈ M oder in Kurzschreibweise A ◦ Φ = Φ ′ ◦ A,
so gilt für jede beschränkte meßbare Funktion f : X → C die Identität
A ◦ fΦ = fΦ ′
◦ A
Definition 3.6.10. Ein projektorwertiges Maß auf den Borelmengen eines
topologischen Raums heißt kompakt getragen genau dann, wenn es Kompakta
gibt, deren Komplement der Nulloperator zugeordnet wird.
Satz 3.6.11 (Spektralsatz für selbstadjungierte Operatoren).
1. Gegeben ein Hilbertraum H erhalten wir eine Bijektion
Auf R definierte kompakt getragene
Teilungen der Identität von H
Φ
∼→
↦→
Selbstadjungierte
Operatoren auf H
xΦ〈x〉