Analysis

6. STETIGKEIT IN MEHREREN VERÄNDERLICHEN 229
Einbettung der Zahlengerade in die Ebene, und (x, y) ↦→ (y, x) ist die
Spiegelung am Bild unserer diagonalen Einbettung.
6.1.2. Ich will den Begriff der Stetigkeit nun statt für Abbildungen R n → R m
gleich im allgemeineren Rahmen der sogenannten “metrischen Räume” diskutieren,
bei dem die bisherige stark von Koordinaten abhängige Darstellung
von einer mehr abstrakt-geometrischen Sichtweise abgelöst wird. Dieser koordinatenfreie
Zugang benötigt zwar einen größeren begrifflichen Aufwand,
aber ich denke, dieser Aufwand lohnt, und zwar aus den folgenden Gründen:
Erstens umfaßt unser Rahmen so auch unendlichdimensionale Räume
wie zum Beispiel die für die Quantenmechanik wichtigen Hilberträume. Zweitens
treten in meinen Augen auch schon im endlichdimensionalen Kontext
die Zusammenhänge bei einer koordinatenfreien Behandlung klarer hervor.
Man kennt das aus der Physik: Rechnet man wie üblich mit Einheiten, die ja
mathematisch schlicht Basen eindimensionaler Vektorräume sind, so treten
auch die Konsistenz und der Sinn physikalischer Formeln viel klarer zu Tage,
als wenn man mit bloßen Zahlen arbeitet.
6.2 Stetigkeit bei metrischen Räumen
Definition 6.2.1. Unter einer Metrik d auf einer Menge X versteht man
eine Abbildung d : X × X → R≥0 derart, daß für alle x, y, z ∈ X gilt:
1. d(x, y) = 0 ⇔ x = y;
2. d(x, y) = d(y, x);
3. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
Ein metrischer Raum ist ein Paar X = (X, d) bestehend aus einer Menge
X und einer Metrik d auf X.
Beispiel 6.2.2. Der Buchstabe d steht in diesem Zusammenhang vermutlich
für das Wort“Distanz”. Auf dem R n liefert der übliche euklidische Abstand
d(x, y) := (x1 − y1) 2 + . . . (xn − yn) 2 eine Metrik. Die Ungleichung aus der
Definition einer Metrik wird in diesem Beispiel in ?? formal bewisen und
bedeutet anschaulich, daß in einem Dreieck mit Seitenlängen a, b, c stets gilt
a ≤ b + c. Sie heißt deshalb auch ganz allgemein die Dreiecksungleichung.
Beispiel 6.2.3. Auf dem R n ist auch der Betragsabstand
d(x, y) = sup |xi − yi|
1≤i≤n