Analysis

7. RAUMWERTIGE FUNKTIONEN 291
Satz 7.6.2 (Reihenentwicklung von Sinus und Cosinus). Unsere Funktionen
cos und sin werden dargestellt durch die absolut konvergenten Reihen
cos t = ∞ t2k
k=0 (−1)k = 1 − (2k)! t2 t4 + − . . .
2! 4!
sin t = ∞ t2k+1
k=0 (−1)k (2k+1)!
t3 t5
= t − + − . . .
3! 5!
und für alle t ∈ R gilt cos(−t) = cos t sowie sin(−t) = − sin t.
Beweis. Die Reihen ergeben sich aus der Darstellung
cos t
0 −t 1
= exp
sin t
t 0 0
und der zweite Punkt folgt aus den Reihendarstellungen.
Lemma 7.6.3. Für alle t ∈ R gilt
0 −t
exp
=
t 0
cos t − sin t
sin t cos t
Beweis. Wir müssen nur noch die Gleichheit der zweiten Spalten zeigen, also
− sin t
0 −t 0
= exp
cos t
t 0 1
Das folgt aber mit 7.4.9 daraus, daß das Paar von Funktionen (− sin t, cos t)
auch unserem System von Differentialgleichungen 7.4.6 genügt und darüber
hinaus den richtigen Anfangswert hat.
Proposition 7.6.4 (Additionsformeln). Für alle a, b ∈ R gilt
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
sin(a + b) = cos a sin b + sin a cos b
Beweis. Das folgt mit 7.6.3 aus der Matrixgleichung
0
exp
(a + b)
−(a + b)
0
= exp
0
a
−a 0
exp
0 b
−b
0
die wir ihrerseits aus 7.5.24 folgern.
Satz 7.6.5 (Nullstellen von Sinus und Cosinus). 1. Die Nullstellen
des Sinus sind genau die ganzzahligen Vielfachen von π, in Formeln
{t ∈ R | sin t = 0} = {nπ | n ∈ Z}.