Analysis

4. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN 869
Übung 4.3.17. Eine glatte Abbildung von glatten Mannigfaltigkeiten heißt
eine Submersion genau dann, wenn ihr Differential an jeder Stelle surjektiv
ist. Man zeige, daß jede surjektive Submersion final ist. Man zeige, daß das
Produkt von Submersionen eine Submersion ist.
Übung 4.3.18. Gegeben Abbildungen f : Z → X und g : Z → Y von
differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und z ∈ Z haben wir
can ◦ dz(f, g) = (dzf, dzg) : TzZ → TxX × TyY
Beispiel 4.3.19. Gegeben eine Liegruppe G mit neutralem Element e ∈ G
und Verknüpfung m : G × G → G kommutiert das Diagramm
T(e,e)(G × G) d (e,e)m
≀ can
TeG
TeG × TeG +
TeG
Salopp gesprochen ist also “das Differential der Verknüpfung die Summe”.
Um das zu sehen muß man nur bemerken, daß d(e,e)m linear ist und daß die
Inverse der Vertikale links (A, 0) abbildet auf can −1 (A, 0) = (de(id, e))(A).
Nun ist die Verknüpfung
G (id,e)
→ G × G m → G
die Identität. Daraus folgt (d(e,e)m) can −1 (A, 0) = A durch Übergang zu den
Differentialen. Ebenso zeigen wir (d(e,e)m) can −1 (0, B) = B und vermittels
der Linearität folgt dann wie behauptet
(d(e,e)m) can −1 (A, B) = A + B
Beispiel 4.3.20. Das Differential beim neutralen Element der Inversenabbildung
auf einer Liegruppe ist die Multiplikation mit (−1), in Formeln
(de inv)(A) = −A
In der Tat ist die Verknüpfung G (id,inv)
−→ G × G m
−→ G konstant und ihr
Differential folglich Null. Andereseits läßt es sich mit der Kettenregel und
unter Verwendung des vorhergehenden Beispiels 4.3.19 auch darstellen als
die Verknüpfung
TeG de(id,inv)
−→ Te(G × G)
dem
−→ TeG
can ↓
TeG (id,deinv)
−→ TeG × TeG +
−→ TeG
Aus der Tatsache, daß diese Verknüpfung Null ist, folgt sofort unsere Behauptung.