Analysis

2. MEHRFACHE INTEGRALE UND ABLEITUNGEN 379
und wir folgern induktiv
g (ν) (t) =
i1,...,iν
∂νf (p + th) · hi1 . . . hiν
∂xi1 . . . ∂xiν
wobei die Summe über alle möglichen ν-Tupel aus {1, . . . , n} laufen soll. Nach
dem anschließenden Lemma 2.2.8 gibt es aber genau ν!/α! Möglichkeiten, ein
ν-Tupel (i1, . . . , iν) ∈ {1, . . . , n} ν so zu wählen, daß unter den i1, . . . , iν jedes
j genau αj-mal vorkommt. Fassen wir also gleiche Summanden zusammen,
so ergibt sich die behauptete Formel für die ν-te Ableitung g (ν) von g. Jetzt
schreiben wir zur Funktion g(t) die Taylorreihe mit der Lagrange’schen Form
des Restglieds II.5.2.5 um den Entwicklungspunkt t = 0 hin und erhalten an
der Stelle t = 1 mit einer kleinen Umformulierung die Gleichung
f(p + h) =
|α|≤d
(∂αf)(p) h
α!
α +
|α|=d
(∂αf)(p + ξhh) − (∂αf)(p) h
α!
α
für geeignetes ξh ∈ (0, 1). Es reicht also, wenn wir für |α| = d zeigen, daß gilt
limh→0(∂ α f)(p + ξhh) − (∂ α f)(p) = 0, und das folgt sofort aus der Stetigkeit
der partiellen Ableitungen.
Lemma 2.2.8. Seien α1, . . . , αn ∈ N gegeben und sei ν = α1 + . . . + αn ihre
Summe. So gibt es genau ν!/α1! . . . αn! Abbildungen von einer Menge X mit
ν Elementen nach {1, . . . , n} derart, daß der Wert j jeweils genau αj-mal
angenommen wird.
Beispiel 2.2.9. Wollen wir 10 nummerierte Bälle so anmalen, daß 5 Bälle blau,
3 Bälle rot und 2 Bälle gelb werden, so gibt es dafür also 10!/(5!3!2!) = 2520
Möglichkeiten.
Beweis. Es gibt genau ν! Möglichkeiten, unsere Menge X anzuordnen. Jede
dieser Möglichkeiten liefert eine Abbildung i wie folgt: Wir bilden die ersten
α1 Zahlen auf 1 ab, die nächsten α2 Zahlen auf 2, und so weiter, bis wir zum
Schluß die letzten αn Zahlen auf n abbilden. So erhalten wir nur Abbildungen
der gewünschten Form, genauer erhalten wir so jede der gewünschten
Abbildungen genau (α1! · · · αn!)-mal. Das Lemma ist bewiesen.
2.3 Rechnen mit Approximationen
Definition 2.3.1. Eine Abbildung P : R n → R m heißt polynomial oder
auch regulär genau dann, wenn sie die Gestalt P = (P1, . . . , Pm) hat, für
geeignete Polynome P1, . . . , Pm in n Veränderlichen. Haben alle unsere Pj
Grad ≤ d, so sagen wir auch, die polynomiale Abbildung P habe Grad ≤ d.