Analysis

3. ERGÄNZUNGEN ZUR TOPOLOGIE 829
Übung 3.3.14. Sind A, B disjunkte kompakte Teilmengen eines Hausdorffraums
X, so gibt es disjunkte offene Mengen U, V ⊂◦ X mit A ⊂ U und
B ⊂ V . Hinweis: Man beginne mit dem Fall, daß A nur aus einem Punkt
besteht.
Übung 3.3.15. In einem kompakten Hausdorffraum läßt sich jede Umgebung
eines Punktes zu einer abgeschlossenen Umgebung desselben Punktes verkleinern.
Hinweis: 3.3.14.
Übung 3.3.16. Die Abbildung (0, 2π) → C, t ↦→ exp(i t) ist ein Homöomorphismus
auf ihr Bild.
3.3.17. Aus der Analysis vertraute Kriterien für Abgeschlossenheit, Stetigkeit,
Kompaktheit etc. über Eigenschaften von Folgen übertragen sich erst
auf beliebige topologische Räume, wenn man den Begriff der Folge zu dem
des Filters verallgemeinert. Wir stellen das zurück bis zum Beweis des Satzes
von Tychonoff 17.4.7. Daß “folgenabgeschlossen” keineswegs “abgeschlossen”
impliziert, hatten wir schon in 3.1.10 gesehen.
3.4 Konstruktion topologischer Räume
3.4.1 (Vergleich verschiedener Topologien auf derselben Menge). Gegeben
Topologien T , T ′ ⊂ P(X) auf derselben Menge X sagt man, T sei
größergleich oder auch feiner als T ′ und T ′ sei kleinergleich oder auch
gröber als T genau dann, wenn gilt
T ⊃ T ′
3.4.2. Sind Ti ⊂ P(X) Topologien auf ein- und derselben Menge X, für i aus
einer Indexmenge I, so ist offensichtlich auch ihr Schnitt T :=
i∈I Ti eine
Topologie.
Definition 3.4.3. Ist X eine Menge und E ⊂ P(X) ein System von Teilmengen
von X, so definiert man auf X die von E erzeugte Topologie 〈E〉
als den Schnitt in P(X) über alle Topologien auf X, die E umfassen, alias
die kleinste Topologie auf X, die E umfaßt.
3.4.4 (Von Mengensystem erzeugte Topologie, explizite Beschreibung).
Natürlich ist 〈E〉 damit die kleinste Topologie auf X, die E umfaßt.
Wir können 〈E〉 alternativ auch wie folgt beschreiben: Zunächst bilden wir
das Mengensystem ˜ E = {U ⊂ X | ∃V1, . . . , Vk ∈ E mit U = V1 ∩ . . . ∩ Vk}
aller endlichen Schnitte von Mengen aus E, mitgemeint ist hier X ∈ ˜ E als
der “Schnitt über gar keine Menge aus E”, und anschließend bilden wir das