Analysis

1. ABLEITUNGEN IN MEHREREN VERÄNDERLICHEN 367
Ergänzende Übung 1.4.15 (Inversionen sind konforme Abbildungen).
Sei V ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen
Bilinearform 〈 , 〉. Die auf dem Komplement {v ∈ V | 〈v, v〉 = 0} des Lichtkegels
erklärte Abbildung f : v ↦→ v/〈v, v〉 heißt dann in Verallgemeinerung
von ?? eine Inversion. Man zeige für das Differential von f bei v die Formel
(dvf)(h) = h 2〈h, v〉v
−
〈v, v〉 〈v, v〉 2
und folgere 〈(dvf)(h), (dvf)(k)〉 = 〈h, k〉/〈v, v〉 2 für alle h, k. In Worten erhält
dvf also für alle v unsere Bilinearform bis auf einen von Null verschiedenen
skalaren Faktor. Abbildungen f mit dieser Eigenschaft heißen konforme
Abbildungen, deshalb die Überschrift.
1.5 Differenzierbarkeit über partielle Ableitungen
Proposition 1.5.1. Sei U ⊂◦ Rn eine offene Teilmenge und f : U → Y
eine Abbildung von U in einen normierten Raum Y. Existieren alle partiellen
Ableitungen und sind stetig als Abbildungen ∂f
∂xi : U → Y , so ist die Abbildung
f differenzierbar.
Ergänzung 1.5.2. Seien X, Y normierte reelle Räume, A ⊂ X eine halboffene
Teilmenge und f : A → Y eine Abbildung. Genau dann heißt die Abbildung
f stetig differenzierbar, wenn f differenzierbar ist und wenn zusätzlich die
Abbildung p ↦→ dpf von A in den Raum der stetigen linearen Abbildungen
B( X, Y ) mit seiner Operatornorm aus II.6.9.27 stetig ist. Aus den Voraussetzungen
der Proposition 1.5.1 folgt mit demselben Beweis unmittelbar, daß f
sogar stetig differenzierbar ist.
Ergänzende Übung 1.5.3. Eine stetige Funktion f : R 2 → R, deren sämtliche
Richtungsableitungen überall existieren, die jedoch im Ursprung nicht
total differenzierbar ist, kann man wie folgt erhalten: Man wählt eine 2πperiodische
stetig differenzierbare Funktion g : R → R mit der Eigenschaft
g(x + π) = −g(x), die nicht identisch Null ist, und setzt f(r cos θ, r sin θ) =
rg(θ) für r > 0 und f(0, 0) = 0. Dann hängen insbesondere die Richtungsableitungen
am Ursprung gar nicht linear vom Richtungsvektor ab.
Beweis. Es gilt, an jeder Stelle p ∈ U die totale Differenzierbarkeit zu zeigen.
Indem wir zu f eine geeignete Konstante sowie eine geeignete lineare
Abbildung addieren, dürfen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen,
daß gilt f(p) = 0 und ∂f
(p) = 0 ∀i. Unter diesen zusätzlichen
∂xi
Annahmen müssen wir nun zeigen, daß f total differenzierbar ist bei p mit