Analysis

1274 KAPITEL VII. MIST UND VERSUCHE
Definition 4.1.3. Gegeben p ∈ N verstehen wir unter einer Abbildung der
Klasse LC p zwischen offenen Teilmengen endlichdimensionaler reeller Räume
eine C p -Abbildung mit lokal lipschitzstetiger p-ter Ableitung.
Übung 4.1.4. Die Verknüpfung von Abbildungen der Klasse LC p hat stets
wieder diese Eigenschaft. Eine Abbildung in einen R n ist von der Klasse LC p
genau dann, wenn das für alle ihre Komponenten zutrifft. Eine Abbildung
R m → R ist von der Klasse LC p genau dann, wenn alle ihre partiellen Ableitungen
bis zur Ordnung p existieren und lokal lipschitzstetig sind. Dasselbe
gilt, wenn unsere Abbildung nur auf einer offenen Teilmenge eines R m definiert
ist.
4.1.5. Für das weitere führen wir eine spezielle Notation ein, um die Darstellung
einigermaßen transparent zu halten: Gegeben ein endlichdimensionaler
reeller Raum X und eine differenzierbare Abbildung f : X → X bezeichnen
wir mit f ′ : X → End( X) die Abbildung p ↦→ dpf, und das auch dann,
wenn f noch von weiteren Parametern abhängt und nur auf einer offenen
Teilmenge von X definiert ist.
Lemma 4.1.6. Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Raum X, eine offene
Teilmenge U ⊂◦ X und ein Vektorfeld A : U → X der Klasse LC 1 ist
auch sein Fluß Φ von der Klasse LC 1 und die Ableitung Φ ′ des Flusses nach
dem Ort erfüllt die Differentialgleichung
∂(Φ ′ )
(t, x) = A
∂t
′ (Φ(t, x))Φ ′ (t, x)
mit der Anfangsbedingung Φ ′ (0, x) = id .
4.1.7. Die Gleichung aus dem Lemma heißt auch die Variationsgleichung.
Sie ist für feste t und x als eine Gleichung in End( X) zu verstehen. Insbesondere
ist rechts das Produkt zweier Endomorphismen gemeint.
Beweis. Wir dürfen und werden unser Vektorfeld als lipschitzstetig mit Lipschitzkonstante
L annehmen. Ist der Fluß Φ unseres Feldes für jedes feste t
stetig differenzierbar nach x, so folgt aus der definierenden Gleichung
∂Φ
(t, x) = A(Φ(t, x))
∂t
durch Festhalten von t die Differenzierbarkeit der t-Ableitung des Flusses
nach x und durch Bilden des Differentials erhalten wir die zweite Hälfte der
Gleichungskette
∂(Φ ′ )
(t, x) =
∂t
′
∂Φ
(t, x) = A
∂t
′ (Φ(t, x))Φ ′ (t, x)