Analysis

1412 KAPITEL VIII. FUNKTIONENTHEORIE
Beweis. Unsere allgemeinen Überlegungen 3.3.4 zeigen, daß das Produkt auf
der rechten Seite auf Re(z) > 1 kompakt konvergiert. Nun können wir für
Re(z) > 1 ja die Faktoren in eine geometrische Reihe entwickeln in der Form
−1
1 − 1
p z
p∈E
= 1 + 1
p
1
+ + . . .
z p2z Wählen wir E ⊂ P endlich und bezeichnen mit N(E) die Menge aller natürlichen
Zahlen ≥ 1, deren sämtliche Primfaktoren zu E gehören, so erhalten
wir mit II.2.6.11 für die Partialprodukte die Darstellung
1 − 1
pz −1 = 1
kz k∈N(E)
Betrachten wir auf beiden Seiten jeweils die Menge E = En der ersten n
Primzahlen und lassen n gegen unendlich streben, so konvergiert die rechte
Seite gegen ζ(z) nach dem Satz über dominierte Konvergenz IV.6.5.10, der
im vorliegenden Spezialfall im Wesentlichen auch bereits als Übung II.2.5.27
behandelt wurde.
Lemma 4.1.7 (Fortsetzbarkeit der Riemann’schen ζ-Funktion). Die
Riemann’sche ζ-Funktion läßt sich zu einer meromorphen Funktion auf der
Halbebene Re(z) > 0 fortsetzen, und diese Fortsetzung ist holomorph mit
Ausnahme der Stelle z = 1, an der sie einen einfachen Pol mit dem Residuum
Eins hat.
Vorschau 4.1.8. Die Riemann’sche ζ-Funktion läßt sich sogar zu einer meromorphen
Funktion auf ganz C fortsetzen und die mit dieser Fortsetzung und
der Γ-Funktion aus 3.4.1 erklärte meromorphe Funktion Λ(z) := π −z/2 Γ(z/2)ζ(z)
erfüllt die Funktionalgleichung Λ(z) = Λ(1−z) alias ist punktsymmetrisch
um den Punkt 1/2, in Formeln Λ((1/2) + z) = Λ((1/2) − z). Des weiteren
hat Λ nur bei 0 und 1 Polstellen. Wir zeigen das alles hier nicht.
Beweis. Für Re(z) > 1 gilt
ζ(z) − 1
z − 1 =
∞
n=1
1
−
nz ∞
1
1
dx =
xz ∞
n=1
n+1
n
1 1
−
nz xz
dx
Die Partialsummen dieser Reihe jedoch bilden eine kompakt konvergente Folge
holomorpher Funktionen auf der Halbebene Re(z) > 0, da wir die Sum-
manden für Re(z) > 0 abschätzen können durch
n+1
1 1
−
nz xz
dx
=
z n+1 x
n
n
n
du
u z+1
dx
≤ |z|
n Re(z)+1