Analysis

432 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
für die wegen der ersten Darstellung offensichtlich gilt fy = u2 und wegen
der zweiten Darstellung fx = u1. Damit gilt ω = df wie behauptet.
Jetzt führen wir unseren konzeptionellen Beweis des Lemmas im Fall allgemeiner
Dimension zu Ende. Wir betrachten dazu alle Wege, die längs der
Kanten eines achsenparallelen Quaders vom Ursprung nach p laufen. Genauer
betrachten wir für jede Permutation σ ∈ Sn den Weg [σ] = [σ; p] vom
Ursprung nach p, der gerade verläuft zwischen den Eckpunkten
0, pσ(1)eσ(1), pσ(1)eσ(1) + pσ(2)eσ(2), . . . , p
Ist τ = (i, i+1) eine Transposition benachbarter Zahlen, so unterscheiden sich
[σ] und [σ◦τ] nur dadurch, daß sie beim i-ten und (i+1)-ten Geradenstück auf
verschiedenen Kantenwegen diagonal gegenüberliegende Punkte eines ebenen
Rechtecks verbinden. Ziehen wir unser Kovektorfeld auf eine geeignete Ebene
zurück, so landen wir im bereits behandelten Fall und folgern
ω = ω
[σ]
für jede Transposition τ der Gestalt τ = (i, i + 1). Wissen wir nun bereits
nach ??, daß derartige Transpositionen die symmetrische Gruppe erzeugen,
so können wir sofort folgern, daß
[σ] ω gar nicht von σ ∈ Sn abhängt. Die
durch
f(p) = ω
für ein und alle σ definierte Funktion f hat dann Differential df = ω, da
ihre partielle Ableitung nach xi auch aus jeder Darstellung durch ein σ mit
σ(n) = i berechnet werden kann, für die ∂f
∂xi = ui offensichtlich ist.
Jetzt können wir schließlich in unserem Satz 3.6.10 auch noch die Implikation
1⇒4 zeigen. Sei h : [0, 1] 2 → A eine Homotopie zwischen unseren beiden
Integrationswegen, die wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit normiert
annehmen dürfen. Analog wie beim Beweis von 3.4.5 zeigen wir mithilfe von
II.6.2.22 und II.6.7.11, daß es für den Abstand von Punkten aus dem Bild
unseres Einheitsquadrats und Punkten außerhalb von A eine positive untere
Schranke gibt. Da h nach II.6.7.14 gleichmäßig stetig ist, finden wir weiter ein
r ∈ N, r ≥ 1 derart, daß bei Unterteilung des Einheitsquadrats in r 2 kleine
Schachfelder der Kantenlänge 1/r die einzelnen Felder unter h jeweils ganz in
einen offenen Ball in A abgebildet werden. Jetzt betrachten wir die Integrale
längs der Geradensegmente zwischen den Bildern in A von benachbarten
Ecken unserer Schachfelder
[σ◦τ]
[σ;p]