Analysis

3. KLASSISCHE MECHANIK 1225
Entwicklung durch eine Abbildung γ : R → R 3N , das Kraftfeld modellieren
wir als Abbildung F : R 3N → R 3N und die Bewegungsgleichungen lauten
mi¨γi(t) = Fi(γ(t)) 1 ≤ i ≤ 3N
für m1 = m2 = m3 die Masse des ersten Teilchens, m4 = m5 = m6 die Masse
des zweiten Teilchens etc. Als System erster Ordnung umgeschrieben suchen
wir statt γ : R → R 3N Abbildungen (γ, α) : R → R 3N × R 3N mit
˙γi = αi
˙αi = m −1
i (Fi ◦ γ)
Abstrakt arbeiten wir mit N Teilchen, die sich im Anschauungsraum E bewegen.
Der Zustand unseres Systems wird durch ein Element des E N beschrieben,
seine zeitliche Entwicklung durch eine Abbildung γ : T → E N , das
Kraftfeld modellieren wir als Abbildung F : E N → E N ⊗ 〈〈g / s 2 〉〉 und die
Bewegungsgleichungen lauten
mn d 2 γn(t) = Fn(γ(t)) 1 ≤ n ≤ N
für mn die Masse des n-ten Teilchens. Es ist vielleicht nicht ganz glücklich,
daß mit i indizierte Buchstaben nun etwas anderes bedeuten als dieselben
Buchstaben mit Index n, aber mir ist keine bessere Notation eingefallen.
Als System erster Ordnung umgeschrieben suchen wir statt γ : T → E N
Abbildungen (γ, α) : T → E N × ( E N ⊗ 〈〈1/s〉〉) mit
dγn = αn
dαn = m −1
n (Fn ◦ γ)
3.6.2. Notieren wir die Koordinaten auf der ersten Kopie von R 3N als xi
und die Koordinaten auf der zweiten Kopie von R 3N als vi und notieren die
zugehörigen Vektorfelder auf R 3N × R 3N als ∂ x i und ∂ v i , so suchen wir in
anderen Worten die Integralkurven des Vektorfelds
3N
i=1
vi∂ x i + m −1
i Fi∂ v i
wobei Fi nur von den Ortskoordinaten xi abhängt. Abstrakt betrachten wir
auf E N × ( E N ⊗ 〈〈1/s〉〉) das “Vektorfeld in Einheiten 〈〈1/s〉〉” gegeben durch
(x1, . . . , xn, v1, . . . , vn) ↦→ (v1, . . . , vn, m −1
1 F1(x), . . . , m −1
n Fn(x))
mit x = (x1, . . . , xn) ∈ E N und gesucht sind “durch T parametrisierte Integralkurven
unseres Vektorfelds in der Einheit 〈〈1/s〉〉”.