Analysis

666 KAPITEL V. FUNKTIONENRÄUME UND SYMMETRIEN
Satz 2.1.20 (Fouriertransformation von L 2 -Funktionen). Die Fouriertransformation
nach 2.1.1 läßt sich auf genau eine Weise vom Schwartzraum
fortsetzen zu einem unitären Isomorphismus von Hilberträumen
L 2 (R n ; d n x) ∼ → L 2 (R n ; d n y)
und das Quadrat dieses Isomorphismus fällt zusammen mit dem Effekt der
Punktspiegelung am Usprung des R n auf quadratintegrierbaren Funktionen.
Beweis. Nach 1.5.1 liegt der Schwartzraum dicht im Raum der quadratintegrierbaren
Funktionen. Nach dem Lemma über die Existenz stetiger Fortsezungen
1.4.12 und dem Lemma über die Linearität und Unitarität stetiger
Fortsetzungen 1.4.17 reicht es also, wenn wir für alle f ∈ S(R n ) zeigen
f2 = f ∧ 2. Dazu erklären wir g durch g(y) = f ∧ (y) und finden mit 2.1.6.4
leicht
g ∧ (x) = f ∧∧ (−x) = f(x)
Unsere Formel vom Beginn des vorhergehenden Beweises der Inversionsformel
2.1.18 zeigt dann sofort f ∧ 2 = f2. Die Inversionsformel im Fall
quadratintegrierbarer Funktionen schließlich folgt durch stetige Fortsetzung
aus der Inversionsformel für Funktionen aus dem Schwartzraum.
2.1.21. Die bisherigen Konstruktionen können wir zusammenfassen im Diagramm
F1 : L 1 → C0
∪ ∪
F : S → S
∩ ∩
F2 : L 2 → L 2
wobei die Transformation der obersten Zeile stetig ist nach 2.1.6.1 für die
1-Norm auf L 1 und die ∞-Norm auf C0, die mittlere Zeile sich durch
Einschränkung ergibt, und die unterste Zeile durch stetige Ausdehnung in Bezug
auf 2 entsteht. Dies Diagramm legt es nahe zu fragen, ob denn (1) für
eine fast überall definierte Funktion f ∈ L 1 ∩ L 2 ihre Fouriertransformation
im Sinne integrierbarer Funktionen stets übereinstimmt mit ihrer Fouriertransformation
im Sinne quadratintegrierbarer Funktionen, und weiter, ob
(2) für f ∈ L 1 mit f ∧ ∈ L 1 auch gilt f ∧∧ (x) = f(−x) fast überall. Beides
ist richtig und soll im Folgenden gezeigt werden. Dafür müssen wir einige
Vorbereitungen treffen. Zunächst geben wir jedoch noch eine Anwendung.
2.1.22 (Berechnung der Fourier-Transformierten einer L 2 -Funktion).
Es ist nicht ganz leicht, eine explizite Formel für die Fourier-Transformierte
einer L 2 -Funktion f : R C anzugeben. In der Tat kann man ja nicht