Analysis

1. DIE REELLEN ZAHLEN 103
Definition 1.4.9. Wir wählen für den weiteren Verlauf der Vorlesung einen
festen angeordneten Körper (R, +, ·, ≤), in dem jede nichtleere Teilmenge
mit einer unteren Schranke auch eine größte untere Schranke besitzt, erlauben
uns wegen der in 1.4.3.2 formulierten “Eindeutigkeit bis auf eindeutigen
Isomorphismus” den bestimmten Artikel, und nennen ihn den Körper R
der reellen Zahlen.
Übung 1.4.10. Man zeige: Jede nichtleere Teilmenge von R mit einer oberen
Schranke hat auch eine kleinste obere Schranke.
Übung 1.4.11. Seien X und Y nichtleere nach oben beschränkte Teilmengen
von R. Bezeichnet X + Y ⊂ R die Menge {x + y | x ∈ X, y ∈ Y }, so zeige
man sup(X + Y ) = sup X + sup Y .
Satz 1.4.12. Die natürlichen Zahlen besitzen keine obere Schranke in den
reellen Zahlen, d.h. für alle x ∈ R gibt es ein n ∈ N mit n > x.
Beweis. Das ist evident für den angeordneten Körper R, den wir im Beweis
von 1.4.3 konstruiert haben. Da diese Konstruktion jedoch nicht ganz einfach
war, zeigen wir auch, wie unser Satz direkt aus unserer Definition 1.4.9
abgeleitet werden kann. Dazu argumentieren wir durch Widerspruch: Hätte
die Teilmenge N ⊂ R eine obere Schranke, so hätte sie nach 1.4.10 auch eine
kleinste obere Schranke a. Dann wäre aber a − 1 < a keine obere Schranke
von N, also gäbe es n ∈ N mit n > (a − 1). Es folgte (n + 1) > a, und bereits
a selbst wäre keine obere Schranke von N gewesen.
Korollar 1.4.13. 1. Unter jeder reellen Zahl findet man noch ganze Zahlen,
in Formeln: Für alle x ∈ R gibt es m ∈ Z mit m < x.
2. Für jede positive reelle Zahl ε > 0 gibt es eine positive natürliche Zahl
n ≥ 1 mit 0 < 1 < ε. n
3. Zwischen zwei verschiedenen reellen Zahlen liegt stets noch eine rationale
Zahl, in Formeln: Gegeben x < y in R gibt es r ∈ Q mit x < r < y.
Beweis. Die erste Aussage folgt aus 1.4.12. Um die Zweite zu zeigen, suche
man n > 1/ε. Um die dritte Aussage zu zeigen, suchen wir zunächst n ∈ N,
n ≥ 1 mit 0 < 1 < y − x, also 1 < ny − nx, das heißt 1 + nx < ny. Nun
n
gibt es a, b ∈ Z mit a < ny < b, also gibt es eine größte ganze Zahl m mit
m < ny und folglich ny ≤ m + 1, woraus hinwiederum folgt nx < m und
< y.
dann x < m
n
1.4.14. Ein angeordneter Körper heißt archimedisch angeordnet genau
dann, wenn es zu jedem Element x des Körpers eine natürliche Zahl n ∈ N
gibt mit n > x. Das obige Korollar 1.4.13 gilt mit demselben Beweis für jeden
archimedisch angeordneten Körper.