Analysis

1350 KAPITEL VIII. FUNKTIONENTHEORIE
Ergänzende Übung 1.4.19 (Umkehrfunktion ohne reelle Analysis). Hier
wird ausgeführt, wie man auch ohne den Umkehrsatz aus der reellen Analysis
IV.4.1.2 zeigen kann, daß gegeben eine holomorphe Abbildung f : U → C
und p ∈ U mit f ′ (p) = 0 offene Umgebungen V ⊂◦ U von p und W ⊂◦ C
von f(p) existieren derart, daß f eine Bijektion f : V ∼ → W mit stetiger
Umkehrabbildung induziert. Dazu zeige man der Reihe nach:
1. Es gibt eine offene Umgebung A ⊂◦ U von p, auf der f injektiv ist und
auf der f ′ keine Nullstelle hat;
2. Für jeden Punkt q ∈ A ist für einen hinreichend kleinen Kreisweg
γε,q : [0, 2π] → V , t ↦→ q + ε exp(it) um q der Weg f ◦ γε,q in C\f(q)
frei homotop zu einem Kreisweg um f(q);
3. Ist für ε = εq wie im vorhergehenden Punkt B eine Kreisscheibe um
f(q), die den Weg f ◦ γε,q nicht trifft, so gilt B ⊂ f(A);
Hinweis: Für den Nachweis der letzten Aussage verwende man für b ∈ B und
γ = γε,q die Formel
dz
f◦γ z − b =
f
γ
′ (w) dw
f(w) − b
aus 1.3.18 und beachte, daß die linke Seite nach Teil 2 nicht verschwindet.
Beispiel 1.4.20. Wir zeigen
∞
−∞
r
in dem Sinne, daß sowohl limr→∞
sin x
x
0
dx = π
als auch limr→∞
0
−r
existieren und ihre
Summe den angegebenen Wert hat. Um das zu sehen, betrachten wir Wege
einmal im Gegenuhrzeigersinn um den Rand des Rechtecks mit Ecken a, b, a+
ih, b + ih für a < b in R und h > 0 und hoppeln im Fall a < 0 < b auf einem
kleinen Halbkreis γε über die Polstelle beim Ursprung. Der Integrand ist
nun die Einschränkung des Imaginärteils von e iz /z auf die reelle Achse, und
das Wegintegral von e iz /z längs eines derartigen Weges ist Null nach dem
Integralsatz. Die Integrale über die drei Kanten ρ, λ, ω für “rechts, links und
oben” außerhalb der reellen Achse können wir jedoch abschätzen durch
e
iz
z dz
≤ sup h
z∈ρ |1/z| e −t dt ≤ sup |1/z|
z∈ρ
ρ
und analog auf der linken Kante, auf der oberen Kante dahingegen durch
e
iz
z dz
≤ (b − a) e−h sup |1/z|
z∈ω
ω
0