Analysis

500 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
5.2.7. Oft wird dieser Satz auch als Satz von Picard-Lindelöf zitiert. Beim
Beweis zeigen wir stärker als in Teil 2 formuliert: Ist das Definitionsintervall
unserer größten Integralkurve nach oben beschränkt, so kann sie nicht ab
irgendeinem Zeitpunkt ganz innerhalb irgendeiner in unserem affinen Raum
abgeschlossenen Teilmenge bleiben, die im Definitionsbereich unseres Vektorfelds
enthalten ist und auf der unser Vektorfeld beschränkt ist.
5.2.8. Allgemeiner gilt unser Satz auch für stetige zeitabhängige Vektorfelder
A : U → X auf U ⊂◦ R × X, die nur lokal partiell lipschitzstetig sind in
dem Sinne, daß jeder Punkt von U eine offene Umgebung besitzt, in der sie
im Sinn von 5.2.4 partiell lipschitzstetig sind. Der Beweis ist derselbe, man
muß sich dafür nur auf 5.2.4 stützen. Diese Allgemeinheit ist insbesondere
bei der Behandlung linearer Differentialgleichungen von Nutzen.
Beweis. Zunächst zeigen wir, daß je zwei Integralkurven γ, ψ mit demselben
Anfangswert p und demselben Definitionsintervall I übereinstimmen. Wir
zeigen nur, daß sie auf I ∩ [0, ∞) übereinstimmen, für I ∩ (−∞, 0] argumentiert
man analog. Stimmen aber unsere Wege auf I ∩ [0, ∞) nicht überein,
so wäre das Supremum s über alle t ∈ I mit γ|[0, t] = ψ|[0, t] nicht das Supremum
von I. Wegen der Stetigkeit der Integralkurven gälte γ(s) = ψ(s),
und nach der Eindeutigkeitsaussage in Lemma 5.2.3 muß dann auch gelten
γ|[0, t + η] = ψ|[0, t + η] für ein positives η, im Widerspruch zur Wahl von s.
Folglich stimmen je zwei Integralkurven mit Anfangswert p auf dem Schnitt
ihrer Definitionsbereiche überein und es gibt genau eine größte Integralkurve
mit Anfangswert p, deren Definitionsbereich eben die Vereinigung der Definitionsbereiche
aller Integralkurven zu p ist. Wäre dieser Definitionsbereich
nicht offen, so enthielte er sein Supremum oder sein Infimum. Dann könnten
wir jedoch um die Bilder dieser Grenzpunkte auch wieder Integralkurven mit
offenem Definitionsbereich finden und “ankleben” und unsere Integralkurve
wäre nicht maximal gewesen. Dieser Widerspruch zeigt, daß unsere größte
Integralkurve offenen Definitionsbereich hat. Bezeichne schließlich A unser
Vektorfeld und U ⊂◦ X seinen Definitionsbereich. Ist γ : [0, b) → U eine
Integralkurve von A, deren Bild in einem Kompaktum M ⊂ U landet, so
ist wegen ˙γ(t) = A(γ(t)) ihre Geschwindigkeit ˙γ(t) beschränkt auf [0, b),
mithin ist γ lipschitzstetig und besitzt nach II.7.5.5 eine stetige Fortsetzung
˜γ : [0, b] → M. Die Integralform unserer Differentialgleichung zeigt dann
sofort, daß auch ˜γ eine Integralkurve von A sein muß. Mithin kann eine Integralkurve
mit nach oben beschränktem Definitionsbereich, die ganz in einem
Kompaktum M ⊂ U verläuft, schon einmal nicht maximal sein. Wir erklären
nun noch, warum eine maximale Integralkurve mit nach oben beschränktem
Definitionsbereich ab einem gewissen Zeitpunkt auch nicht mehr in ein vorgegebenes
Kompaktum zurückkehren darf. Sicher besitzt unser Kompaktum