Analysis

1086 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
11.5.4. Gegeben topologische Gruppen G ⊃ H und ein H-Raum V betrachten
wir die Projektion G ×H V → G/H und notieren
S(G ×H V ) = CG/H(G/H, G ×H V )
die Menge aller stetigen Schnitte dieser Projektion. Ist f : G → V eine
stetige Abbildung mit f(hg) = hf(g) für alle h ∈ H, g ∈ G, so geht die
Abbildung G → G × V , g ↦→ (g, f(g −1 )) über zu den Quotienten und liefert
so einen stetigen Schnitt im assoziierten Bündel ˜ f ∈ S(G×H V ). Insbesondere
erhalten wir für jede stetige Darstellung V einer Untergruppe H einer lokal
kompakten Gruppe G eine kanonische lineare Abbildung
ind G
H V → S(G ×H V )
Satz 11.5.5 (Geometrische Interpretation der Induktion). Sei G eine
lokal kompakte Gruppe und H ⊂ G eine Untergruppe, die topologisch frei auf
G operiert. Sei weiter V eine stetige Darstellung von H. So induziert die kanonische
Abbildung 11.5.4 einen Isomorphismus von stetigen Darstellungen
ind G
H V ∼ → S(G ×H V )
Beispiel 11.5.6. Sind H ⊂ V G Liegruppen mit Liealgebren h ⊂ g, so liefert
die Operation von G auf dem Tangentialbündel des homogenen Raums G/H
einen Isomorphismus von topologischen Vektorbündeln
G ×H (g/h) ∼ → T(G/H)
Unser Satz 11.5.5 liefert folglich einen Isomorphismus
ind G
H(g/h) ∼ → CG/H(G/H, T(G/H))
zwischen der Darstellung von G durch Verschiebung von Vektorfeldern auf
dem Raum der stetigen Vektorfelder auf G/H und der stetig induzierten
Darstellung ind G
H(g/h) der durch die adjungierte Operation gegebenen Darstellung
von H auf g/h.
Beweis. Wir bemerken zunächst einmal, daß unter unseren Voraussetzungen
das Diagramm
G × V ↠ G ×H V
↓ ↓
G ↠ G/H
mit den offensichtlichen Abbildungen kartesisch ist. Jeder stetige Schnitt σ :
G/H → G ×H V kommt deshalb her von einer wohlbestimmten stetigen