Analysis

5. VEKTORRAUMBÜNDEL UND FELDER 915
oder dessen Inverses, so erhalten wir Konstruktionen, die jedem glatten reellen
Vektorraumbündel E die glatten reellen Vektorraumbündel | det E| und
| det E| −1 zuordnen. Man könnte stattdessen auch für vorgegebenes n den
Gruppoidfunktor betrachten, der jedem reellen Vektorraum den eindimensionalen
Raum der translationsinvarianten signierten Borelmaße auf unserem
Raum zuordnet, aber das ist arg weit hergeholt. Dennoch ist unsere
Konstruktion des Betrags der Determinante eines Bündels keine bloße Spielerei:
Wir werden in ?? etwa sehen, daß für eine kompakte Mannigfaltigkeit
X die stetigen Schnitte des Bündels
| det TX| −1
als signierte Borelmaße auf X aufgefaßt werden können, und zwar erhalten
wir so genau alle diejenigen signierten Borelmaße, die unter jeder Karte verwandt
sind zum Produkt des Lebesgue-Maßes mit einer stetigen Funktion.
Derartige signierte Borelmaße heißen“stetige Dichten”. Die Konstruktion dieses
“Bündels der Dichten” paßt also auch in unseren allgemeinen begrifflichen
Rahmen.
5.2 Felder auf Mannigfaltigkeiten
5.2.1. Unter einem Feld versteht man ganz allgemein einen Schnitt eines
Bündels, und im besonderen einen Schnitt eines Bündels auf einer Mannigfaltigkeit,
das durch Anwenden eines glatten Gruppoidfunktors aus dem Tangentialbündel
hervorgeht. Wenn ich hervorheben will, daß letztere Bedeutung
gemeint ist, spreche ich von einem natürlichen Feld. Heißt unser Gruppoidfunktor
F, so rede ich auch von einem F -Feld. Übliche Bezeichnungsweisen
für derartige Bündel und Felder auf einer Mannigfaltigkeit X faßt die folgende
Tabelle zusammen, in der max = dim X zu verstehen ist.