Analysis

196 KAPITEL II. FUNKTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN
Beispiel 4.4.4. Für λ > 0 gilt
limx→∞(log x)/x λ = limx→∞(1/x)/λx λ−1
= limx→∞ 1/λx λ
= 0
4.5 Zusammenhang zwischen Integral und Ableitung
Satz 4.5.1 (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung). Ist
I ⊂ R ein halboffenes Intervall, f : I → R stetig und a ∈ I ein Punkt, so ist
die Funktion
F : I → R
x ↦→ x
f(t) dt
a
die einzige differenzierbare Funktion F : I → R mit F ′ = f und F (a) = 0.
4.5.2. Im Fall x < a ist dies Integral unter Verwendung unserer Konvention
3.5.10 als x
a f(t) dt = − a
f(t) dt zu interpretieren.
x
Beweis. Für p ∈ I rechnen wir
F (x) − F (p)
lim
x→p x − p
1
= lim
x→p x − p
x
p
f(t) dt
Da nun f stetig ist, finden wir für beliebiges ε > 0 ein δ > 0 derart, daß aus
|t − p| ≤ δ folgt f(p) − ε ≤ f(t) ≤ f(p) + ε. Aus 0 < |x − p| ≤ δ folgen also
durch Bilden des Integrals und Teilen durch (x − p) die Ungleichungen
f(p) − ε ≤
1
x − p
x
p
f(t) dt ≤ f(p) + ε
und damit ist gezeigt, daß der Ausdruck in der Mitte für x → p gegen f(p)
konvergiert. Es folgt F ′ (p) = f(p) für alle p ∈ I. Ist G : I → R auch
differenzierbar mit G ′ = f, so verschwindet die Ableitung der Differenz G−F.
Nach 4.3.11 ist diese Differenz also konstant, und haben wir dann auch noch
G(a) = 0, so ist sie konstant Null und wir folgern F = G.
Korollar 4.5.3 (Integrieren mit Stammfunktionen). Sei I ⊂ R ein
halboffenes Intervall und f : I → R eine stetige Funktion. Ist G : I → R
eine Stammfunktion von f, als da heißt eine differenzierbare Funktion mit
Ableitung G ′ = f, so gilt für alle a, b ∈ I die Formel
b
a
f(t) dt = G(b) − G(a)