Analysis

2. LÖSUNG EINIGER SCHWINGUNGSGLEICHUNGEN 331
untereinander durch eine Feder verbunden. Bezeichnen x(t) bzw. y(t) die
Position des ersten bzw. zweiten Wägelchens auf einer Skala, auf der x = y =
0 den Gleichgewichtszustand bedeuten und größere x bzw. y einen größeren
Abstand eines Wägelchens von “seiner” Wand, so genügt unser System einer
Differentialgleichung
¨x = −ax − b(x + y)
¨y = −cy − d(y + x)
für Konstanten a, b, c, d > 0, in die die Stärke der Federn und die Massen der
Wägelchen eingehen. Erklären wir v : R → R 2 , t ↦→ v(t) = (x(t), y(t)) und
betrachten die Matrix
A =
−(a + b) −b
−d −(c + d)
so können wir unser System schreiben als
¨v(t) = Av(t)
Der Leser mag als Übung zeigen, daß der Lösungsraum vierdimensional sein
muß. Unsere Matrix A hat, wie man dem charakteristischen Polynom ansieht,
negative reelle Eigenwerte λ1, λ2. Also hat bereits der R 2 eine Basis v1, v2 aus
Eigenvektoren von A. Dann sind die vier Funktionen
t ↦→ exp((± λi)t)vi mit i = 1, 2
offensichtlich Lösungen, und ähnliche Argumente wie im vorhergehenden
Beispiel zeigen, daß sie sogar eine Basis Lösungsraums bilden. Setzen wir
ωi = √ −λi, so erhalten wir eine alternative Basis des Lösungsraums durch
die vier Funktionen
cos(tωi)vi und sin(tωi)vi mit i = 1, 2.
Ist noch spezieller unsere Situation symmetrisch unter der Vertauschung der
beiden Wägelchen, haben sie also dieselbe Masse und sind durch dieselben
Federn mit den Wänden verbunden, so folgt b = d und a = c und wir
erhalten v1 = (1, 1) mit λ1 = −a − 2b sowie v2 = (1, −1) mit λ2 = −a. Diese
Eigenvektoren entsprechen den zwei Eigenschwingungen des Systems, bei
denen beide Wägelchen zu allen Zeiten in derselben bzw. in entgegengesetzten
Richtungen fahren. Die Bewegung der einzelnen Wägelchen x(t) = x+(t) und
y(t) = x−(t) wird dann beschrieben durch
Re c1 e i ω1t
±c2 e i ω2t = Re e i(ω1−ω2)t/2 c1 e i(ω1+ω2)t/2
− i(ω1+ω2)t/2
±c2 e