Analysis

1394 KAPITEL VIII. FUNKTIONENTHEORIE
Das und noch viel mehr leistet die “Poisson-Transformation” nach 3.1.12, die
wir im Folgenden als eigenständigen Satz formulieren und beweisen.
3.1.11. Ich will zunächst erklären, wie man von der Fourier-Entwicklung in
natürlicher Weise zur Poisson-Transformation geführt wird. Wir denken uns
dazu eine reellwertige harmonische Funktion auf einer im Nullpunkt zentrierten
offenen Kreisscheibe mit Radius R > 1 und suchen eine holomorphe
Funktion F auf der offenen Einheitskreisscheibe D◦ mit Re F = h. Dazu entwickeln
wir zunächst einmal die Restriktion h|S1 unserer Funktion auf den
Einheitskreis in eine Fourierreihe. Nach III.3.3.4 finden wir wohlbestimmte
cν ∈ C mit
h =
cνz ν
ν∈Z
auf S 1 im Sinne der Konvergenz der Folge der Partialsummen im quadratischen
Mittel und es gilt |cν| 2 < ∞. Da h reellwertig ist, haben wir c−ν = cν
und können unsere Darstellung von h|S 1 umschreiben zu
h = c0 +
∞
ν=1
cνz ν + cνz ν
wieder im Sinne der Konvergenz der Folge der Partialsummen im quadratischen
Mittel. Da die cν beschränkt sind, definiert die Potenzreihe
F (z) = c0 +
∞
2cνz ν
eine holomorphe Funktion auf der offenen Einheitskreisscheibe. Unter der
Voraussetzung, daß diese Potenzreihe einen Konvergenzradius > 1 hat, gilt
für die Partialsummen Fn = c0 + n ν=1 2cνz ν sowohl Fn → F gleichmäßig
auf S1 also auch Re Fn → h im quadratischen Mittel auf S1 , woraus sofort
folgt Re F = h erst auf S1 und dann wegen 3.1.6 auf der ganzen Einheitskreisscheibe
D und wir haben unsere harmonische Funktion wie gewünscht
als Realteil einer holomorphen Funktion geschrieben. Um auch ohne die Voraussetzung,
daß unsere Potenzreihe einen Konvergenzradius > 1 hat, die
Gleichheit Re F = h auf der offenen Einheitskreisscheibe D◦ zu zeigen, müssen
wir feiner argumentieren. Die Fourierkoeffizienten cν sind ja nach III.3.3.2
gegeben als
ν=1
cν = 1
2π
h(e
2π 0
it ) e −iνt dt