Analysis

98 KAPITEL II. FUNKTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN
4. |x −1 | = |x| −1 falls x = 0
5. Es gilt die sogenannte Dreiecksungleichung
|x + y| ≤ |x| + |y| ∀x, y ∈ K
in Worten: Der Betrag einer Summe ist stets kleinergleich der Summe
der Beträge der Summanden. In der Tat gilt ja x + y ≤ |x| + |y| und
ebenso auch −(x + y) ≤ |x| + |y|. Unsere Ungleichung heißt deshalb
Dreiecksungleichung, weil sie in einem allgemeineren Kontext sagt, daß
in einem Dreieck zwei Seiten zusammen stets länger sind als die dritte.
6. ||a| − |b|| ≤ |a + b| ∀a, b ∈ K.
In der Tat folgt aus der Dreiecksungleichung |a| = |(a + b) + (−b)| ≤
|a + b| + | − b| = |a + b| + |b|, also |a| − |b| ≤ |a + b|. Ebenso folgert man
aber auch |b| − |a| ≤ |a + b|.
Übung 1.3.9. In jedem angeordneten Körper gilt:
1. Aus |x − a| ≤ η und |y − b| ≤ η folgt |(x + y) − (a + b)| ≤ 2η;
2. Aus |x−a| ≤ η ≤ 1 und |y −b| ≤ η ≤ 1 folgt |xy −ab| ≤ η(|b|+1+|a|);
3. Aus |y −b| ≤ η ≤ |b|/2 und b = 0 folgt y = 0 und |1/y − 1/b| ≤ 2η/|b| 2 .
Ergänzende Übung 1.3.10. In jedem angeordneten Körper gilt für x ≥ −1
und n ∈ N die sogenannte Bernoulli-Ungleichung (1 + x) n ≥ 1 + nx.
Hinweis: Vollständige Induktion.
1.4 Die reellen Zahlen
1.4.1. Der folgende Satz enthält diejenige Charakterisierung eines gewissen
angeordneten Körpers von “reellen Zahlen”, auf der die ganze Vorlesung aufbaut.
Er bildet auch einen wesentlichen Teil des Begriffsgebäudes, das es uns
ermöglicht, unsere geometrischen Vorstellungen in der heute gebräuchlichen
aus den Symbolen der Mengenlehre aufgebauten Sprache der höheren Mathematik
wiederzufinden. Bereits im vierten Jahrhundert vor Christus erklärte
der griechische Mathematiker Eudoxos eine Zahl als das Verhältnis zweier
Längen und gab damit eine geometrische Beschreibung dessen, was wir
heute “positive reelle Zahlen” nennen würden. Die logischen Feinheiten der
Beziehung dieses “geometrischen” Zahlbegriffs zum “algorithmischen” Zahlbegriff,
der vom Prozeß des Zählens herkommt, wurden erst nach und nach
verstanden. Den folgenden Satz 1.4.3 und seinen Beweis mag man als den